Foregående: Leder Op: FAMØS maj 1997 Næste: Litteratur

David Hilbert

Rasmus Borup Hansen

 
Figur 1: David Hilbert.

David Hilbert blev født den 23. januar i 1862 i Königsberg, hvor han også fik sin doktorgrad allerede i 1885. Hans viden om matematik var virkelig stor; han arbejdede inden for de fleste områder og hører derfor til blandt de matematikere, som enhver matematiker med respekt for sig selv bør have noget paratviden om.

Hilbert tilbragte det meste af sit liv i Göttingen, hvortil han kom i 1895. Der er ingen tvivl om at Hilberts person var en af de væsentligste grunde til, at universitetet i Göttingen var det førende universitet for matematik i Tyskland og måske endda i hele verden i den første tredjedel af det 20. århundrede.

Hilbert startede sin karriere med at studere algebraiske former; senere arbejdede han med talteori, geometriens grundlag, integralligninger, teoretisk fysik og endelig matematikkens grundlag.

Hilberts arbejde med geometri er et af de væsentligste siden Euklid, og i 1899 udgav han Grundlagen der Geometrie, der har haft en ganske stor indflydelse. Hans mål var, at give geometrien et simpelt sæt af uafhængige aksiomer og derfra udlede de vigtigste geometriske sætninger på en sådan måde, at betydningen af de enkelte aksiomer var så klar som mulig. Hilberts aksiomatisering var ganske god og havde ikke de samme problemer som Euklids. Men det var ikke derfor Grundlagen der Geometrie var noget særligt. Det væsentlige var, at Hilbert fastslog, at man i enhver matematisk disciplin må begynde med nogle udefinerede begreber og nogle aksiomer, der specificerer relationerne imellem dem. Hvor Euklid definerede et punkt som "`det, der ikke kan deles"' uden i øvrigt at forklare hvad han mente med "`at dele"', betragtede Hilbert - meget abstrakt - tre forskellige systemer af ting. Ting fra det første system kaldte han punkter, ting fra det andet system linjer, og ting fra det tredje system kaldte han planer. Han huskes for at sige, at man lige så godt kunne have kaldt dem borde, stole og ølkrus, idet hans matematik var rent abstrakt. Udover disse begrebet, havde han også nogle aksiomer, der relaterede begreberne til hinanden - f.eks. knyttede Hilbert en (og kun en) linje til to punkter.

Succesen med Grundlagen der Geometrie gav Hilbert inspiration til et meget ambitiøst program: Han ville aksiomatisere al matematik. Dette startede den såkaldte formalistiske skole indenfor matematikken, og selvom Hilbert selv var ganske produktiv indenfor mange områder, var han klar over, at han ikke kunne klare det alene. Ved den internationale matematikkongres i Paris i 1900 gav han derfor en solid hjemmeopgave til det 20. århundredes matematikere. I hans foredrag med den beskedne titel af Mathematische Probleme præsenterede han en liste bestående af 23 problemer, som han mente, ville have en central betydning for matematikken i det 20. århundrede:

1. Cantors problem om kardinaliteten af kontinuum.
2. Konsistensen af (dvs. modsigelsesfriheden af) aksiomerne for aritmetikken.
3. Afgør, om to tetraedre (ikke regulære) med samme grundflade og højde har samme volumen.
4. Konstruer de metrikker, hvor den rette linje er den korteste vej mellem to punkter.
5. Undersøg Lies opfattelse af kontinuerte transformationsgrupper uden at postulere differentiabiliteten af funktionerne, der bestemmer gruppen.
6. En aksiomatisering af matematisk fysik.
7. Irrationaliteten og transcendensen af visse tal.
8. Problemer i primtalsteori (Riemanns -funktion, Goldbachs formodning).
9. Bevis for den mest generelle reciprocitetssætning i vilkårlige tallegemer.
10. Find en metode, der afgør, om en given Diophantisk ligning kan løses.
11. Kvadratiske former med algebraiske koefficienter.
12. Algebraiske legemesudvidelser.
13. Vis, at en syvendegradsligning i almindelighed ikke kan løses vha. funktioner af kun to variable.
14. Afgør, om ringen er endeligt frembragt over K, når K er et legeme, er en polynomiumsring, og .
15. Et stringent grundlag for Schubert's enumerative geometry.
16. Problemet med topologien for algebraiske kurver og flader.
17. Udtryk en definit rational funktion ved kvotienter mellem summer af kvadrater af funktioner.
18. Afgør, om der findes et ikke-regulær, rumudfyldende polyeder.
19. Er løsningerne til regulære variationsproblemer altid analytiske?
20. Har ethvert variationsproblem en løsning med passende forudsætninger om randbetingelser?
21. Vis, at der altid findes en lineær differentialligning af Fuch-klassen med given monodromigruppe.
22. En uniformisering af analytiske funktioner vha. automorfe funktioner.
23. En videreudvikling af variationsregningen.

Man siger, at det meste af den matematik, man har lavet i det 20. århundrede på en eller anden måde har været relateret til et af Hilberts problemer. Nogle af problemerne er blevet helt løst eller kun delvist løst, mens andre stadig står åbne. Endelig har Matiyasevich i 1970 vist, at det er umuligt at løse Hilberts 10. problem!

Der er ingen tvivl om, at Hilbert med sine 23 problemer markerede indgangen til det 20. århundrede. Problemerne danner ofte grundlag for matematisk sladder, og af og til går der rygter blandt matematikere, om at "`den-og-den har løst en del af Hilberts n'te problem."' Selvom det af og til bare er rygter, er der i hvert fald ingen tvivl om, at David Hilbert har foranlediget en enorm mængde matematisk arbejde.

Hilbert døde den 14. februar 1943 i Göttingen. På hans grav står "`Wir müssen wissen. Wir werden wissen."'

Foregående: Leder Op: FAMØS maj 1997 Næste: Litteratur