previous up next
Foregående: Rettelse til sidste nummer Op: FAMØS maj 1997 Næste: Litteratur

Global Optimering 3

Carsten Svaneborg


De to forgående artiklergif har handlet om at løse optimeringsproblemer ved hjælp af algoritmer, hvor en funktion er kendt som funktion af en mængde af kontinuerte og/eller diskrete variable, men hvor de afledte af funktionen ikke er kendt eller ikke er defineret. I det følgende vil vi antage, at der er et kontinuum af ukendte variable givet ved en differentiabel funktion f(x), samt en funktional. Vi leder efter den funktion, der minimerer/maksimerer funktionalen.

Der er mange eksempler på problemer, der kan formuleres på denne måde, for eksempel Fermats princip, der siger, at lyset fra en lyskilde i punktet A, der bliver detekteret i B, vil følge den kurve fra A til B, hvor lyset når hurtigst (eller langsomst) frem, og af Fermats Princip følger geometrisk optik. Af samme skuffe er en geodæt, der er den korteste rute mellem to punkter. En klassiker er brachistochronproblemet (gr. kortest tid), der var det første variationsproblem og blev stillet af Jakob Bernoulli i 1696. Populært formuleret lyder det som følger: Hvilken profil skal en bakke have, for at en bold, der starter fra toppen, hurtigst vil nå bunden (når man ser bort fra rotation og friktion)?

Variationsregning

Givet et linært normeret rum tex2html_wrap_inline1677 af passende differentiable funktioner (her tex2html_wrap_inline1679 ) og en funktional tex2html_wrap_inline1681 , kan partiel differentation generaliseres til

equation623

Hvis ovenstående eksisterer for alle tex2html_wrap_inline1683 , kaldes udtrykket for gâteaux-variationen af funktionalen; tex2html_wrap_inline1685 er mængen af funktioner, man varierer over, og antages at være en lineær delmængde af tex2html_wrap_inline1677 , idet man oftest vil have bestemte kriterier for h. I det følgende er tex2html_wrap_inline1691 , svarende til at endepunkterne i variationen fastholdes.

Et interessant eksempel (folk, der har haft analytisk mekanik, vil genkende eksemplet og notationen): Hvis tex2html_wrap_inline1693 , hvor L(x,y,z) er en differentiabel funktion, og tex2html_wrap_inline1697 , så er gâteaux-variationen:

align632

Fra den 3. til den 4. ligning er udtrykket for differention af produktfunktioner brugt, og i den sidste ligning er brugt, at grænseledet forsvinder da h(a)=h(b)=0.

For en funktion tex2html_wrap_inline1701 , der er et ekstremum (relativt til tex2html_wrap_inline1685 og normen på dette rum) for funktionalen I[f], gælder

equation683

denne ligning kaldes Euler-Lagrange (EL) ligningen, og nu er det praktisk at variationsregningens fundementallemma giver (for tex2html_wrap_inline1707 ), at

equation687

dvs., at man kan slippe af med h(t) og integralet på letteste vis.

Med funktionalen fra eksemplet indsat, giver EL og lemmaet følgende:

equation689

Denne ligning kaldes også for Euler-Lagrange-ligningen for funktionalen S[q(t)].

Ligningen kan umiddelbart generaliseres til det tilfælde, hvor tex2html_wrap_inline1713 tex2html_wrap_inline1715 , dvs., funktionalen tex2html_wrap_inline1717 er afhængig af N funktioner i stedet for kun en funktion, og resultatet er N EL-ligninger, med samme form som den forrige EL-ligning, bare krydret med j'er:

equation697

Eksemplet er ikke valgt tilfældigt. Beskrives et fysisk system ved N koordinater tex2html_wrap_inline1727 i et vilkårligt koordinatsystem (fx sphæriske koordinater), og identificeres tex2html_wrap_inline1729 (Lagrange funktionen) med forskellen i kinetisk og potentiel energi (til tiden t i punktet tex2html_wrap_inline1727 ) udtrykt i det valgte koordinatsystem, da kaldes tex2html_wrap_inline1735 for aktion-funktionalen (og det er ikke tilfældigt, at den har samme dimension som tex2html_wrap_inline1737 (energi gange tid, red.)), og sættet af Euler-Lagrange-ligningerne er en generalisering af Newtons bevægelsesligning til det valgte koordinatsystem.

Hvis et koordinatsystem har en metrisk tensor tex2html_wrap_inline1739 , dvs., at pythagoras's læresætning i et punkt tex2html_wrap_inline1741 for et differentielt skridt tex2html_wrap_inline1743 er tex2html_wrap_inline1745 , da er Lagrange funktionen for en fri partikel tex2html_wrap_inline1747 , og tex2html_wrap_inline1749 , men funktionalen tex2html_wrap_inline1751 har samme extrema, da EL-ligningen vil blive multipliceret med tex2html_wrap_inline1753 (hvis T>0), som derfor kan divideres ud.

Men tex2html_wrap_inline1757 er længden af den kurve, partiklen vil følge. Extrema for denne funktional er faktisk geodæter, dvs., at en fri partikel vil følge geodæter. Dette udsagn er korrekt både i klassisk mekanik såvel som generel relativitetsteori, og kan fx observeres ved en tex2html_wrap_inline1759 afbøjning af lys fra stjerner set tæt ved solens overflade.

For en partikel beskrevet af 1 (kartesisk) dimension (dvs. q(t)=x(t)), og i et potential U(x) er tex2html_wrap_inline1765 , indsat i EL-ligningen:

align716

Dvs., EL-ligningerne reducerer til Newtons anden lov i kartesiske koordinater. Det er ofte praktisk at kunne anvende et smart koordinatsystem, i stedet for kartesiske koordinater. Fx et pendul kræver 2 koordinater, og i kartesiske koordinater er Newton kedelig at løse, men i polære koordinater er problemet trivielt.

Nu er de forgående eksempler mekaniske, men EL-ligningen gælder for enhver funktional, der kun indeholder tex2html_wrap_inline1767 og tex2html_wrap_inline1769 , og det er let at generalisere EL til højere afledede. For problemerne nævnt i indledningen er (i 2D kartesiske koordinater) Fermats princip tex2html_wrap_inline1771 , hvor T er passagetiden (lyshastigheden c=1) og n(x,y) er brydningsindekset, og både geodæt- og brachistochronfunktionalerne er specialtilfælde med n(x,y(x))=1 hhv. tex2html_wrap_inline1781 .

Der findes mange andre problemer, der kan formuleres som variationsproblemer udover al klassisk mekanik (inkl. Maxwells ligninger og generel relativitetsteori). En anden gruppe er kontrolproblemer, hvor man ønsker en kontrolfunktion, der maksimerer ens kontrol over et kendt system, fx en laserpulsform, der selektivt eksiterer atomer til en ønsket tilstand, eller bryder en bestemt binding i et molekyle. Et andet og meget visuelt eksempel er sæbebobler på en ståltrådsfigur (hvor eksperimentet nok er mere gennemsigtigt end matematikken) hvor overfladeenergien skal minimeres, mens volume skal være konstant, og der skal være passende grænsebetingelser svarende til den ståltrådsfigur, som boblen sidder på.


previous up next
Foregående: Rettelse til sidste nummer Op: FAMØS maj 1997 Næste: Litteratur

famos@math.ku.dk
Wed Jun 11 01:16:53 MET DST 1997