Kennie Nybo Mortensen
Fra sidst fandt vi, at mængden af polynomier P på [a,b] ligger
tæt i 
, når sidstnævnte udstyres med den
uniforme norm.
I denne del vil vi undersøge og P nærmere og
finde ud af væsentlige egenskaber,
som vi vil bruge til videre generalisation.
Læsere, der kun kender til metriske rum, kan bare læse ``metrisk rum'', når der står ``topologisk rum''.
Det er velkendt, at er et reelt vektorrum. Med
punktvis multiplikation er det også en ring, og for 
og 
er 
. Man siger, at er en algebra.
Det er heller ikke svært at indse, at P er en algebra, og da 
, siger man, at P er en delalgebra af
.
[Øvelse]
Lad X være et topologisk rum og lad A være en delalgebra af
. Vis, at 
igen er en delalgebra af
.
Vi ser nu på funktionerne 1 og x. Det er klart, at ethvert
polynomium kan opbygges af 1 og x ved multiplikation,
multiplikation med skalarer og addition. Derfor kalder man 
for en frembringer for P, og man siger, at P er delalgebraen af
frembragt af . Jf. øvelsen kan man med
rette kalde 
for den lukkede delalgebra af frembragt af . Vi kan nu omformulere Weierstrass's
sætning til
[Sætning]
Hvis A er en delalgebra af med
da er 
,
.
Vi er ved at fjerne os fra polynomierne, og vi skal snart se, at det er følgende egenskab ved P, der bringer os videre:
[Definition]
For en mængde X og et system 
af reelle
funktioner på X, siges F at separere punkter for X, hvis for der
alle 
med 
findes 
, så 
.
Bemærk, at hvis en delalgebra A af indeholder
, da vil A separere punkter for [a,b].
[Definition]
For 
defineres 
ved
at 
Vi har brug for følgende to lemmaer:
[Lemma 1]
Lad X være et kompakt topologisk rum med mere end et punkt,
og lad L være en delmængde af med følgende
egenskaber:
Da er 
vil 
, med og 
findes så f(x)=a og f(y) =b.
.
Bevis: Lad 
og 
være givet.
Da L er afsluttet, er det nok at finde en funktion 
, så 
for alle 
.
Hvis vi kan finde 
for alle , vil
følgen 
konvergere uniformt mod f, dvs. 
.
Konstruktionen er en øvelse i brug af kompakthed, og tricket er værd
at huske.
Vi holder et 
fast. For 
findes per
antagelse 
, så 
og 
.
Mængden 
er åben og indeholder x,y.
Lader vi y gennemløbe X vil 
være en åben
overdækning af X, og da X er kompakt kan denne udtyndes til
. Sættes 
, vil 
og 
for alle 
.
Nu konstruerer vi . Sæt 
for alle . 
er en
overdækning af X, udtynd den til 
, og sæt
, da vil 
og 
. 
[Lemma 2]
For et topologisk rum X, vil enhver lukket delalgebra af
være stabil overfor 
og 
.
Bevis: Lad A være en lukket delalgebra af . Det er nok at vise, at 
. Lad
derfor 
og være givet. |t| er en kontinuert
reel funktion, så ifølge Weierstrass's sætning findes et polynomium
p', så 
for 
. Det ses, at konstantleddet for p' er mindre end 
, fjerner vi det, og kalder det nye polynomium for p,
vil 
for . Da
A er en algebra må 
, specielt må 
for alle , dvs. 
.
Vi kan altså approksimere |f| vilkårligt godt med funktioner fra
A, og da A er afsluttet, må 
.
Vi er nu endelig klar til at bevise
[Teorem (Stone-Weierstrass's, reel version)]
Lad X være et kompakt topologisk rum, og lad A være en afsluttet
delalgebra af , som separerer punkter og indeholder
1. Da er 
.
Bevis: Hvis X kun består af et punkt, da er alle
funktioner på X konstante, og da 
, og A er en algebra,
vil . Ellers kan vi bruge vores to udmærkede
lemmaer; vi skal bare vise, at for , med , og
, findes en funktion , så f(x)=a og
f(y)=b. Da A separerer punkter, findes en funktion 
, så
. Sæt nu 
, så vil f opfylde det
ønskede.
Bemærk at Weierstrass's sætning er indeholdt i Stone-Weierstrass's
sætning
.
Læg specielt mærke til, at vi kun har brugt noget algebra, samt lidt
topologi for at vise Stone-Weierstrass's sætning, hvor det var en del
mere besværligt at vise Weierstrass' sætning direkte. Sådan er
det tit i den virkelige verden: ved at studere overordnede strukturer, kan
man i mange tilfælde få nemme beviser for klassiske sætninger. Tænk
f.eks. på beviset for, at en kontinuert reel funktion på et afsluttet
og begrænset interval, har såvel en største- som en mindsteværdi.
(2MA/2AN p. I.6.4 ). Det er besværligt at vise direkte; men vha.
kompakthed fylder beviset 2 linier.
Her slutter så del II af III, jeg har tænkt mig at stoppe føljetonen her. Den sidste generalisering til lokalkompakte rum er interessant, men bidrager ikke videre til ovenstående diskussion. Læs selv videre i [1] pp. 160-167 eller [2] pp. 125-146 (Meget kortfattet).