Gleasons Sætning Aksiomatisk Kvantemekanik eller Ikke Kommutativ Integrationsteori?

Der er et par matematiske resultater som konkurerer om navnet ``Gleasons Sætning''. Slår man f.eks. op i den japanske encyklopædi, EDM, (second edition), refererer denne til det resultat, jeg har valgt at præsentere som ``Side 9 Sætning'' i denne udgave af FAMØS. Sætningen giver svar på 2 matematiske problemer, det ene vedrører begrebet tilstand i en aksiomatisk fremstilling af kvantemekanikken, mens det andet drejer sig om muligheden for i en ikke kommutativ ramme at konstruere et integral ud fra et mål. Jeg vil i det følgende prøve at bibringe læseren en forståelse for det første spørgsmåls baggrund og skitsere dele af Gleasons løsning. Forbindelsen til ikke kommutativ integrationsteori vil ikke bliv berørt her, men kan muligvis etableres af de læsere, der har fulgt kurset 4FU.

Inden vi kaster os ud i filosofiske og matematiske overvejelser, kan jeg give følgende upræcise formulering af det resultat, vi søger at forstå.

Fysiske tilstande er restriktioner af lineære funktionaler.

Beskrivelse af aksiomatisk kvantemekanik.

Gitteret af udsagn.

Hvis vi f.eks. tænker på en partikel i et et-dimensionalt rum vil vi tillade udsagn, hvor P, Q og R er Borelmængder på den reelle akse. Udsagnene p, q og r vil så hver fastlægge delmængder af V, og fællesmængden af disse vil svare til hændelsen

. Billedet her skulle gerne vise, at den klassiske mekanik kan beskrives ved et distributivt, komplementeret og dermed altså Boolsk gitter; nemlig mængden F udstyret med operationerne fællesmængde, foreningsmængde og komplement.

Det er formentlig kendt, at det eksperimentelt kan vises, at denne model til beskrivelse af verden ikke er hele sandheden. Et af problemerne er, at det viser sig, at det for vor partikel ikke er muligt samtidigt at fastlægge position og hastighed med vilkårlig høj grad af nøjagtighed. I fysikken er resultatet formuleret i Heisenbergs usikkerhedsrelation. Hvis vi vender tilbage til udsagnene p og q siger Heisenberg altså, at udsagnet

er tomt hvis områderne P og Q begge er tilstrækkeligt små. Vi kan altså have, at

er tomt, selv om q ikke er indeholdt i non-p. Matematisk set er konsekvensen, at vi må forkaste ideen om, at de mulige udsagn om fysiske størrelser udgør et distributivt gitter.

Der er gjort adskillige forsøg på at opstille en matematisk ramme, som kan udtrykke de kvantemekaniske fænomener. Fysikerne fandt ret hurtigt ud af, at ved overgang fra funktioner på målrum til operatorer på et Hilbertrum kunne man etablere en model, som kan forudsige udfald af eksperimenter, og principielt er problemet derved løst. En sådan holdning er imidlertid i modstrid med den almindelige forventnig om at naturens mekanismer skal kunne beskrives, så de kan ``forstås''. Hvor kommer f.eks. Hilbertrummet fra?

Med udgangspunkt i det ikke distributive gitter af udsagn om et fysisk system prøvede bl.a. John von Neumann, George W. Mackey og Josef M. Jauch at opstille en ramme som kunne begrunde indførelsen af Hilbertrummet. Jauch argumenterer for at gitteret af udsagn skal have nogle ret uskyldigt udseende egenskaber, og beviser herud fra, at et irreducibelt komplementeret gitter af denne type er isomorft med gitteret af afsluttede underrum af et Hilbertrum over de komplekse tal. Gitteroperationerne på mængden af afsluttede underrum er naturligvis fællesmængde, afslutning af sum af underrum og ortogonalt komplement. Den mest almindelige indvending imod Jauchs fremstilling er, at den ikke overbevisende udelukker muligheden af at Hilbertrummet kunne være over kvaternionerne istedet.

Ifølge Jauch er en tilstand en række manipulationer med systemet, og tilstanden måles ved hjælp af gitteret af udsagn. Vi tænker os, at vi kan reproducere den samme tilstand/opstilling så ofte, vi har lyst og så spørge: Er p opfyldt? Somme tider er svaret ja til andre tider nej, og som fysiker forventer man, at andelen af bekræftende svar vil konvergere når eksperimentet gentages mange gange. Grænseværdien er så sandsynligheden for at p er opfyldt i denne tilstand, og vi betegner tallet som tilstandens værdi på p.

I det følgende betegner H et Hilbertrum og G gitteret af afsluttede underrum i H.

Definitionen ligner den, der gælder for et mål på en sigma-algebra, og det er da ikke tilfældigt, idet modellen gerne skulle indeholde den klassiske beskrivelse i de tilfælde, hvor tilstanden restringeres til et Boolsk delgitter. Som eksempel herpå kan vi vende tilbage til udsagnet p, og lade P variere i sigma-algebraen af Borelmængder på aksen. Disse udsagn udgør fra fysikkens side et Boolsk gitter, så i den kvantemekaniske ramme vil disjunkte Borelmængder

svare til ortogonale underrum, og vi ser, at tilstanden f inducerer et Borel-sandsynlighedsmål

på aksen ved

. Middelværdien af

er så forventningen af positionen i tilstanden f. Man kan ved hjælp af spektralteori generalisere ovenstående betragtninger, således at man for enhver selvadjungeret begrænset operator s på H på entydig måde får tilknyttet en middelværdi af denne operator i tilstanden f. Værdien betegnes

Ethvert afsluttet underrum K af H er udstyret med netop een ortogonal projektion fra H på K. Omvendt kan vi til en ortogonal projektion knytte det afsluttede underrum den projicerer på, så vi kan og vil tænke på G som et gitteret af ortogonale projektioner i algebraen B(H) af begrænsede operatorer på H. Vi kan herefter opfatte tilstanden f som en reel funktion på mængden af ortogonale projektioner, som opfylder visse betingelser, der sikrer, at den på entydig måde kan udvides til en reel funktion

på samtlige begrænsede selvadjungerede operatorer på H. Vi er nu fremme ved problemet. Lad s og t være begrænsede selvadjungerede operatorer på H, er da forventningen af s+t i tilstanden f lig summen af forventningerne af s og t, eller kortere er udvidelsen

additiv. Rent intuitivt synes dette at måtte være så oplagt, at man ligeså godt kunne tage det som et aksiom, at tilstande er additive. Gleasons sætning viser, at noget sådant ikke er nødvendigt, når dimensionen af Hilbertrummet er større end 2.

I det følgende betegner H et Hilbertrum af tællelig dimension over de komplekse tal. En tilstand er specielt en funktion på alle en-dimensionale underrum, og derfor en funktion på mængden S af enhedsvektorer i H, kaldet enhedsfæren.

En rammefunktion med vægt W på H er en reel funktion f på S om hvilken det for enhver ortonormalbasis

gælder, at

En rammefunktion siges at være regulær, såfremt der findes en operator A i B(H), så det for alle x i S gælder, at f(x)=(Ax,x)

Det følger umiddelbart, at en matematisk tilstand er en rammefunktion. Ved identifikationen mellem en-dimensionale underrum i H og de minimale ortogonale projektioner i B(H) kan man - ved hjælp af lineær algebra - indse, at en regulær rammefunktion er restriktion af en lineær (specielt additiv) funktional på underrummet af B(H) bestående af operatorer af endelig rang. Det kræver lidt mere teori at indse, at den regulære rammefunktion faktisk er restriktionen af en kontinuert linearform på B(H). For så at vise Gleasons Sætning er det nok at vise, at alle rammefunktioner på Hilbertrum af dimension større end 2 er regulære.

Betingelsen om at dimensionen skal være mindst 3 er altså vigtig. På den anden side viser det sig relativt nemt, at hele problemet kan reduceres til enhedssfæren

i rummet. Groft sagt går argumentet således: En rammefunktion på H er regulær, hvis den er restriktionen af en begrænset sesquilinearform til diagonalen i

. Sesquilinearformen kan på den anden side ved hjælp af polariseringsidentiteten beskrives ved hjælp af sine værdier på ovennævnte diagonal. Problemet er så bare, om en rammefunktion ved anvendelse en af polariseringsidentiteten giver en sesquilinearform. Men da dette problem af natur er 3-dimensionalt, er det nok at vise resultatet i dimension 3.

I det følgende betegner f en rammefunktion på

. Jeg vil efterfølgende referere dele af beviset for at en kontinuert rammefunktion på

er regulær, men ikke gå ind på den teknisk set komplicerede del af Gleasons arbejde, som viser, at alle rammefunktioner på

er kontinuerte. Dette sidste resultat kræver på den anden side ``kun'' en god del snedighed og elementært kendskab til sfærens geometri, så læseren kan jo prøve at etablere et bevis selv.

Sfæren

er på naturlig måde udstyret med et rotationsinvariant sandsynlighedsmål

, og vi vil nu lade h betegne Hilbertrummet

. Mængden af reelle ortogonale

matricer udgør en gruppe kaldet O(3), og denne gruppe transformerer rummet isometrisk og lader derfor

invariant. Herved induceres en virkning af O(3) på h idet vi for

definerer

. Ifølge repræsentationsteorien for O(3) dekomponeres h som en direkte sum af en følge

, af parvis ortogonale underrum. Hvert underrum

har dimension 2m+1 og kan beskrives som restriktionen til

af de homogene polynomier af grad m i de 3 variable x, y, z. (Husk p er et homogent polynomium hvis

.) Disse underrum er invariante under virkningen af O(3) og restriktionen af virkningen til hvert af disse rum er irreducibel. Dette betyder, at hvis r er et afsluttet underrum af h som er invariant under virkningen af O(3), så vil der eksistere en delmængde

så

Lidt overvejelse viser, at mængden af kontinuerte rammefunktioner er et underrum af h som er invariant under gruppevirkningen, og afslutningen i h af rummet af kontinuerte rammefunktioner må være en direkte sum af visse af underrummene

. Da funktionerne i

alle er kontinuerte følger det så, at for et givet m, vil enten alle egentlige funktionerne i

eller ingen egentlige funktioner være rammefunktioner.

Det er let at overbevise sig om, at

( de konstante polynomiers restriktion til

) samt

(kvadratiske former med spor nul) giver regulære rammefunktioner. For

ser man, at et førstegradspolynomium antager modsatte værdier i modsatte punkter på sfæren. Et sådant polynomium kan derfor ikke være en rammefunktion. Ideen er nu at vise, at ingen af underrummene

kan bidrage med summander til en kontinuert rammefunktion. Til det formål er det nok at vise, at hvert af disse underrum indeholder funktioner, som ikke er rammefunktioner. Lad da

og betragt funktionerne

, de tilhører begge

ved restriktion til

og vil derfor ved restriktion enten begge give rammefunktioner, eller begge ikke give rammefunktioner. Betragtes restriktionerne af

til enhedscirklen i XY-planen fås i polære koordinater

. Det er åbenbart, at en rammefunktions restriktion til enhedscirklen i XY-planen må være en rammefunktion der. På den anden side viser en simpel overvejelse, at

kun kan være en rammefunktion på cirklen hvis m=0 eller

2 mod 4. Heraf ses, at restriktionerne af

ikke er rammefunktioner, og at der dermed ingen rammefunktioner er i

når

. Følgelig er der ikke er andre kontinuerte rammefunktioner en dem, der er linearkombinationer af funktioner fra

, og da disse alle er regulære er sætningen vist.

Referencen [1], indeholder et bevis for Gleasons Sætning, som ikke benytter repræsentationsteori. I øvrigt er sætningen siden generaliseret til at gælde for et mål på projektionsgitteret i en von Neumann algebra, som ikke indeholder en direkte summand af type

Gleasons Sætning: Aksiomatisk Kvantemekanik eller Ikke Kommutativ Integrationsteori?