Henrik Chr. Grove og Rasmus Borup Hansen
Opgaven fra septembernummeret af FAMØS var at bestemme sandsynligheden for, at et spil sten-papir-saks, stopper efter netop n runder, når m personer spiller spillet, lad os kalde denne sandsynlighedsfunktion P(n,m).
Ved første øjekast kan opgaven virke temmelig uoverskuelig, der
bliver jo meget hurtigt et meget stort antal muligheder for, hvordan
spillet kan foreløbe. Derfor starter vi ganske blidt med kun 2
spillere. Man kan ret hurtigt indse, at 
, nemlig
sandsynligheden for at de to spillere vælger forskellige
``meldinger''. En mere frugtbar måde at betragte det på er at sige,
at det antallet af måder, vi kan vælge vinderen på, gange
sandsynligheden for, at den anden vælger netop den melding, der taber
til vinderens melding, altså udregningen 
.
Hvis spillet skal vare m > 1 runder, skal de to spillere
nødvendigvis melde ens i de første m - 1 runder, sandsynligheden for
dette er 
, og dermed har vi
Et andet nemt særtilfælde er kræve at spillet slutter efter netop 1
runde. Sandsynligheden for dette er 
for
n>2. Der er nemlig n måder at vælge vinderen på, og de sidste
n-1 spillere skal alle vælge netop den ene melding, der taber til
vinderens melding.
Disse to særtilfælde udgår grundlaget for den generelle løsning som bliver:
Hvor rekursionen stopper når vi når et af særtilfældene ovenfor.
Dette udsagn kræver dog lidt argumentation. Summationen foregår over
det antallet af spillere, der skal udgå i en given runde.
Binomialkoefficienten angiver antallet af måder, hvorpå vi kan vælge
de k spillere, der skal udgå, faktoren 
udtrykker
at kun en af spillerne kan melde ``frit'', lad os sige, det er en af
dem, der går videre, alle de andre skal enten melde det samme som
ham/hende for også at gå videre, eller den melding, der taber til den
valgte melding, for at blive blandt dem, der udgår. Det sidste led er
sandsynligheden for, at de tilbageværende n-k spillere bliver
færdige i netop m-1 runder. Bemærk at vi med definitionerne
P(1,0)=1 og P(n,m)=0 for n<2 eller m<1, og ved at summere
til n-1 kan fjerne behovet for de to særtilfælde.
Opgaven fra sidste nummer gik ud på at få fire mænd ud af en hule på 60 minutter. Kun to kan klatre ud ad gangen, og der er en lygte, der skal transporteres tilbage for at de næste kan klatre ud. De fire mænd er henholdsvis 5, 10, 20 og 25 minutter om at klatre frem eller tilbage (vi benævner personer med disse tal). Opgaven løses vedørst at 5 og 10 klatrer ud, 5 klatrer tilbage, 20 og 25 klatrer ud, 10 klatrer tilbage og endelig klatrer 5 og 10 ud igen.