Foregående: Introduktion til side 9 Op: FAMØS marts 1997 Næste: Riesz' repræsentationssætning og Lebesguemålet

Side 9 sætningen:
Gleasons sætning - igen, igen?

Kjeld Bagger Laursen

Den sætning af Gleason der her omtales har siden sin opdagelse i 1962 haft et meget tungt og langt bevis. Men nu kender vi et særdeles simpelt bevis. Her beskrives sætningen og det nye bevis, som skyldes M.M. Neumann.

I de sidste par år har jeg været i gang med at skrive en bog om lokal spektralteori. Min medforfatter er Michael Neumann, der er professor ved Mississippi State University.

Lokal spektralteori er kommet til verden i inspiration fra spektralsætningen for normale operatorer på Hilbertrum. En af konsekvenserne af spektralsætningen er at en normal operator kan splittes op i mindre og forhåbentlig simplere, mere gennemskuelige, bidder. Hvad der skal lægges i `mindre bidder' skal vi ikke bekymre os så meget om, ud over at spektralsætningen muliggør at spektret for operatoren brydes op i delmængder, samtidig med at operatoren kan indskænkes til visse invariante underrum. Det bagvedligggende princip - og ønske - er at reducere operatoren til en mindre kompliceret situation. Som bekendt er det den form for `reduktionisme', der er grundlæggende for megen matematisk forskning.

Når denne opsplitning skal foregå i mere generelle situationer, helst for en uspecificeret operator, f.eks. operatoren T på Banachrummet X, opstår der et behov for at se på den analytiske funktion, resolventfunktionen , defineret på den åbne delmængde hvor er invertibel. Når jeg siger `analytisk' mener jeg præcis hvad ordet betyder i det skalære tilfælde: funktionen er differentiabel mht. den komplekse variable .

Resolventfunktionen virker på vilkårlig vektor og giver os en analytisk funktion . For visse kan denne analytiske funktion udvides analytisk til en større definitionsmængde. Vi kan altså sommetider `æde os ind på' spektret af T, ved at finde analytiske løsninger til ligningen (I kunne du jo prøve at lade T være venstreskiftet, og løse ligningen for ). Denne mulighed er selve startpunktet for den lokale spektralteori.

I lokal spektralteori er vi er altså pisket til at dyrke analytiske funktioner med værdier i et Banachrum. Sådan nogen udtaler Gleasons sætning sig om.

En kort eksakt følge,

er en skematisk måde at give følgende information om de to lineære afbildninger T og S: På hvert stade skal gælde at billedet af den indgående afbildning er lig kernen for den udgående afbildning. Følgen er kort, så der er kun fem rum, de to yderste er trivielle og de to yderste afbildninger er derfor også trivielle. Men eksaktheden (billedet af den indgående er kernen for den udgående...) tvinger T til at være injektiv og S til at være surjektiv. Og i midten er , altså billedet under T er identisk med nulrummet for S.

Den mest oplagte - og mere generelt dækkende end som så - eksemplificering af dette er tilfældet hvor X er et underrum af Y og Z=Y/X. Afbildningen T er indlejringen og S den naturlige kvotientafbildning.

Hvis U er en åben delmængde af , og X er et Banachrum, kan vi tale om rummet H(U,X) af analytiske funktioner, defineret på U og med værdier i X. Et simpelt eksempel er , hvor f er en `almindelig' analytisk funktion af U ind i , og x en (fastholdt) vektor i X; denne funktion betegnes tit . Et andet får vi, med givet og givet , i i form af ovennævnte . Rummet H(U,X) er et topologisk vektorrum, hvis vi udstyrer det med konvergensbegrebet givet ved uniform konvergens (i normen på X) på enhver kompakt delmængde af U.

Svarende til de tre Banachrum, den korte eksakte følge ovenfor taler om, kan vi betragte rummene H(U,X), H(U,Y) og H(U,Z). Og en afbildning giver på helt naturlig vis anledning til en anden lineær afbildning, , defineret ved punktvis virkning: , for enhver og for alle .

Den Gleason sætning jeg beretter om i dag siger så følgende: hvis

er en kort eksakt følge, så er den inducerede følge

også eksakt. Hvis det ikke lyder af noget særligt, så er her nogle konsekvenser, som bestemt ikke er lette at give direkte beviser for:

Hvis den korte eksakte følge er i konkret, `kanonisk' form, sådan at der er tale om underrum og kvotientrum:

så siger Gleasons sætning at det samme gælder for rummene af analytiske funktioner, altså

Det betyder jo at enhver analytisk funktion med værdier i kvotientrummet Y/X kan repræsenteres ved en analytisk funktion med værdier i Y `plus' en med værdier i X.

En anden konsekvens: når , altså når Banachrummet E kan skrives som en sum (ikke nødvendigvis direkte sum!) af to afsluttede underrum og , så kan vi lave en kort eksakt følge:

En kort overvejelse vil overbevise dig om at følgen er eksakt. Men Gleasons sætning fortæller os at de tilsvarende rum af analytiske funktioner er forbundet på analog vis:

Det vil altså sige at enhver analytisk funktion med værdier i E kan skrives som en sum af to analytiske funktioner, en med værdier i , en med værdier i . Hvis de to underrum dannede en direkte sum, var resultatet klart. Men `opløsningen' i to analytiske funktioner kan altså lade sig gøre i almindelighed. Det er af værdi.

Hvordan ville man umiddelbart forsøge at bevise Gleasons sætning? En ide ligger i at analytiske funktioner med Banachrumsværdier, ganske som de skalære, kan udvikles lokalt i potensrækker: hvis og så findes en åben cirkelskive for hvilken for alle , for passende valgte vektorkoefficienter . Endvidere får den af inducerede afbildning virkningen at ( for alle .

Den tunge del af Gleasons sætning, surjektiviteten af , kan så gives en overskuelig løsning, men blot lokalt, dvs. i en skive, som : hvis er repræsenteret ved i en skive , og S er surjektiv, kan hvert skrives som , hvor har norm uniformt sammenlignelig med normen af . Elementerne kan så bruges som koefficienter i en potensrækkeudvikling for en funktion f der ihvertfald i skiven af afbildes i g. Men kan vi finde et element i H(U,Y) - og ikke blot i hvert enkelt af rummene ?

Det kan man - og det blev altså først påvist af Andrew Gleason, i en 15 siders artikel i Pacific Journal of Mathematics i 1962. I januar 1997 blev Michael Neumann klar over at det kan gøres på ca. tre linier. Jeg skal prøve at forklare hvordan - uanset at det gør påstanden om `tre linier' en anelse sårbar.

I rummet H(U,X) spiller funktionerne en særlig rolle: deres lineære span er tæt. Enhver funktion i H(U,X) er altså grænseværdi for udtryk af formen . Det betyder at H(U,X) kan identificeres med et tensorprodukt: .

Tilstedeværelsen af symbolet angiver at tensorproduktet er en fuldstændiggørelse og at topologien er den projektive topologi. Man skulle have forventet en anden topologi her, den injektive, som er den der naturligt dukker op i H(U,X)'s konvergensbegreb. Og der er da også væsentlige matematiske resulateter bag ved: rummet H(U) er nukleært, derfor gør det ingen forskel hvilken af de to topologier, der angives. Disse ting går tilbage til Grothendiecks indsats i 1950erne.

Men når først denne identifikation er gjort, kører resten let. Tensorer i et projektivt tensorprodukt , hvor E og F er vektorrum, som er fuldstændige metriske rum, har en helt konkret repræsentationsmulighed. Hvis nemlig findes der nul-følger i E og i F, samt en -følge af skalarer, så .

Hvis A er en kontinuert lineær afbildning på H(U) og B en kontinuert lineær afbildning på X, kan vi danne tensorproduktet af dem. Det er specificeret ved at og det bliver kontinuert på , og dermed udvideligt til . Hvad mere er, hvis begge afbildningerne A og B er surjektive, bliver surjektiv på . Det kan man f.eks. indse ved at bruge den just nævnte repræsentation af tensorerne i .

Afbildningen T definerer . Men via identifikationen kan vi straks se at . Thi begge afbildninger har mening, de er begge kontinuerte, så deres identitet skal blot tjekkes på funktioner af formen :

Specielt kan vi altså af surjektivitetssætningen for projektive tensorprodukter slutte, at når er surjektiv, så er det også. Og altså er surjektiv. Det var den hårde del af beviset for Gleasons sætning.

Hvorfor var der ingen der så det noget før? Måske var der ingen der kiggede?

Foregående: Introduktion til side 9 Op: FAMØS marts 1997 Næste: Riesz' repræsentationssætning og Lebesguemålet