Niels Hansen
Jeg vil i denne artikel præsentere en, synes jeg, meget interessant
sætning, der går under navnet Riesz' repræsentationssætning. Med
den i hånden er det relativt nemt at indføre Lebesguemålet på
såvel som på 
. Metoden er væsentlig
forskellig fra den klassiske indførelse, der optræder (delvist) på
3MI. Her konstrueres Lebesguemålet m udfra ønsket om, at m([a,b])
= b - a hvor 
og 
. Konstruktionen ved
hjælp af Riesz' repræsentationssætning bygger derimod på, at
Lebesgueintegralet (integralet mht. Lebesguemålet) skal være en
udvidelse af Riemannintegralet.
Det er nok allerede gået op for læseren, at artiklen baserer sig på kendskab til 3MI eller tilsvarende kurser, men med 3MI og 2AN i baglommen, skulle man være på banen. Vi får dog også brug for lidt topologi, men det er mest for at formulere repræsentationssætningen så generelt som muligt. Er man ikke inde i topologi, så går man ikke helt galt i byen, hvis man blot tænker på metriske rum.
Lad nu 
være et topologisk rum. Vi skal først indføre et par
nødvendige begreber vedrørende topologien på X.
findes disjunkte åbne delmængder G og H
af X hvor 
og 
(bemærk at metriske rum er
Hausdorff topologiske rum).
, siges 
at være en omegn af
x, dersom der findes en åben mængde G så og 
.
findes en kompakt omegn af x (bemærk at metriske rum ikke
behøver at være lokalkompakte).
er et lokalkompakt metrisk rum (med den sædvanlige
metrik). Vi har jo, at de kompakte mængder i netop er de
afsluttede og begrænsede mængder.
Vi betragter fra nu af et lokalkompakt Hausdorff topologisk rum . I resten af artiklen vil 
stå for
Borel- 
-algebraen på X, dvs. er den mindste
-algebra, der indeholder de åbne mængder. Et mål på
kaldes et Borelmål.
For den slags mål findes et par betegnelser, der angiver hvor
``regulært'' målet er. Dermed menes i en eller anden forstand hvor
pænt målet er. Lad nu 
være et vilkårligt Borelmål.
er ydre regulær mht. ,
hvis
Hvis alle Borelmængder er ydre regulære, siger vi, at er ydre
regulært.
er indre regulær mht. ,
hvis
Hvis alle Borelmængder er indre regulære, siger vi, at er
indre regulært.
er både ydre og indre regulært, siger vi, at er
et regulært Borelmål.
Vi erindrer fra 3MI/2MA (eller ser nu for første gang), at et Borelmål
på kaldes et Radonmål, hvis det opfylder
Pointen er, at er så pænt et rum, at alle Radonmål bliver
regulære, og således forsvinder regularitetsproblemer for Borelmål
på , blot (*) er opfyldt. (Man kan evt. løse opgave 5.16
og 5.17 i 2MA-noterne bind II B).
Støtten for en funktion 
defineres som
Mængden af kontinuerte funktioner fra X ind i med
kompakt støtte betegnes 
. Man overbeviser sig let om, at
er et vektorrum med sædvanlig punktvis addition og skalar
multiplikation.
Vi kan således nu betragte de lineære funktionaler 
. En lineær funktional I kaldes positiv såfremt
hvis 
( 
).
Endelig kan vi formulere Riesz' repræsentationssætning. Der mindes om, at et mål kaldes fuldstændigt, såfremt alle nulmængder er målelige.
Lad være et lokalkompakt
Hausdorff topologisk rum og I en positiv lineær funktional på
. Da findes en -algebra 
og netop et fuldstændigt mål på 
så
for alle kompakte delmængder 
. er ydre regulært.
med 
er indre regulærer. repræsenterer I på følgende måde
Det er selvfølgelig punkt 4, der er af særlig interesse.
Jeg har ikke tænkt mig at gengive beviset her, da det er relativt langt (ca. 6 sider), og kræver visse topologiske resultater. Jeg må derfor henvise til [1] for beviset.
Der er visse problemer, om man vil, med regulariteten af målet, men
det kan der altså ikke gøres noget ved i den generelle situation. En
forudsætning om at X er -kompakt (X er en tællelig
forening af kompakte mængder) vil dog sikre, at målet bliver regulært,
men igen vil jeg henvise til [1] for bevis.
Lad 
og betragt følgende
afbildning 
givet
ved 
, der er kendt som Diracs delta-funktion.
Denne er klart en positiv lineær funktional, så ifølge sætning 1.a
findes en -algebra , og
et mål 
, så for 
er
Det er ikke svært at se, ved hjælp af Lebesgues sætning om
majoriseret konvergens, at er etpunktsmålet i x. Dvs.
målet er for givet ved
Dette mål går også under navnet Dirac målet i x.
Vi kunne nu indføre Lebesguemålet ligesådan ved hjælp af sætning 1.a, men jeg har valgt at gå en lille omvej.
, da findes et og kun et Radonmål
på 
(=Borelalgebraen på ) så
repræsenterer I på følgende måde
Da er et lokalkompakt Hausdorff topologisk rum følger
eksistensen af sætning 1.a ved restriktion af det der givne mål
til Borel-algebraen (vi
sætter 
. Vi har jo, at for 
findes en følge af simple Borelfunktioner, der
konvergerer mod f majoriseret af |f|. Da integralet af de simple
Borelfunktioner er det samme, uanset om vi integrerer mht. 
eller , da følger det af Lebesgues majorantsætning, at
integralet mht. repræsenterer I.
Jeg vil vise entydigheden direkte, men for at gøre det skal vi bruge et lille lemma. Først erindres dog om Urysohns lemma for metriske rum (opgave I.3.7 fra 2AN).
Lad (M,d) være et metrisk rum, og lad 
og 
være to
afsluttede disjunkte delmængder af M. Der findes en kontinuert
funktion 
så f(x) = 0 for 
og
f(x) = 1 for 
.
Lad K og V være hhv. en kompakt
delmængde og en åben delmængde af , således at 
. Da findes en funktion , hvor
for alle 
, f(x) = 1 for
, og 
.
Da og V er åben, vil der for
alle findes et 
, så 
. Vi kan endog vælge 
så lille, at
. Vi har at
så da K var kompakt, kan denne åbne overdækning udtyndes til en
endelig. Dvs. der findes 
, så
Sæt nu 
, så vil 
. Ifølge Lemma 2 er der
en kontinuert funktion 
, så f
er 1 på K og 0 på 
. Dette giver at 
, så 
, hvilket viser at , og
da 
er kompakt, at .
Funktionen i lemmaet opfylder altså uligheden 
.
, og antag at 
og
er to Radonmål, der repræsenterer I således som sætningen
angiver. Da og er Radonmål, er de specielt indre
regulære (jvf. tidligere bemærkning), og derfor er målene er ens,
blot de er ens på kompakte delmængder af . Lad 
være en kompakt delmængde og 
vilkårligt. Der findes, da er ydre regulært, en åben
delmængde 
, så , og
. Lad nu være funktionen fra lemma 3, så . Da er
Da 
var vilkårlig, slutter vi at 
.
Af symmetrigrunde er 
, så 
for alle kompakte delmængder .
Pointen er, at ovenstående entydighedsbevis kan kopieres til det generelle tilfælde, hvis man altså kan bevise lemma 3. I sætning 1.a er målet godt nok ikke regulært, men er stadig bestemt af målet på de kompakte mængder.
Lemma 3 kan vises generelt, altså for lokalkompakte Hausdorff topologiske rum, men det er ganske bemærkelsesværdigt, at lemma 2 ikke gælder generelt for disse rum, så beviset bliver nødvendigvis en del anderledes.
Det står nu klart, at entydigheden i sætning 1.a er relativt let
klaret, og tilbage står problemet med selve konstruktionen af målet.
Det vil vi ikke bekymre os om, men derimod benytte sætningen til
konstruktion af Lebesguemålet på .
Vi betragter nu den positive lineære funktional 
for . Integralet er
her Riemannintegralet af f over hele den reelle akse, hvilket giver
god mening, da f er 0 udenfor et kompakt interval [a,b] og f
er kontinuert.
udstyret med
Borelalgebraen . Der findes da et (Radon)mål m på
så m([a,b])=b - a for og .
ovenfor. Lad [a,b] være et
interval på , og sæt
Da vil 
majoriseret af den
integrable funktion 
, så da 
følger af Lebesgues majorantsætning at
men da 
slutter vi at m([a,b])=b -
a.
Det er nok en god ide, om man tegner funktionen 
. Mht.\
entydighed af Lebesgue målet, så giver sætning 1.b os, at der ikke
findes andre Radonmål, der repræsenterer Riemannintegralet, men vi
får ikke umiddelbart, at målet m er entydigt blot m([a,b]) = b -
a. Dette vises dog på 3MI. Det i sætning 2 angivne mål m vil vi
kalde Lebesguemålet på , defineret på Borelalgebraen.
Havde vi indført målet ved hjælp af sætning 1.a i stedet, havde vi
fået en større -algebra, der normalt kaldes Lebesguealgebraen,
og målet kaldes det fuldstændige Lebesguemål. På
kan Lebesguemålet indføres ligesådan, men der bliver
en anelse flere tekniske detaljer.
Ligeså nemt viser man, at hvis 
er en
kontinuert funktion, og man sætter
Da er
hvor der på venstresiden står Riemannintegralet og på højresiden Lebesgueintegralet mht. Lebesguemålet m. Man benytter blot en konstruktion tilsvarende den i beviset for sætning 2 og med sætningen om majoriseret konvergens følger resultatet (*).
Jeg håber at læseren er kommet så vidt, at han/hun læser denne linie. Ønsker man at studere emnet nøjere på egen hånd, så kan jeg først og fremmest henvise til [1], der er en rigtig god analysebog. Man kan også gribe fat i [2] (kapitel 6), der (med forfatterens egne ord) er en ``high tech'' introduktion til emnet. God fornøjelse med videre studier!