Jette Randløv
Well, hey,is so boring when you can use
where a and b are complex numbers! [...] If a has a complex portion, the fractal has a discontinuity along the negative axis - relax, we finally figured out that it's supposed to be there!
Manualen til Fractint.
I denne artikel vil jeg svare på det spørgmål, som mange stiller første gang, de ser en kompleks Newtonfraktal: ``Skal den virkelig se sådan ud?!'' - Eller mere præcist: ``Hvorfor er der diskontinuiteter inde i fraktalen?''
Figur 1: Udsnit af Newtonfraktalen for ligningen 
.
Men først må vi have klarhed over, hvad det er for nogle diskontinuiteter, der er i spil. Figur 1 og forsiden viser udsnit af Newtonfraktaler. Den let buede streg, der går fra lidt over centrum til nederste venstre hjørne i figur 1 er en diskontinuitet. (Hvis man ser ordentlig efter er der to mere i højre del af figuren, som kan ses med denne opløsning.) På figuren på forsiden er de tre runde knolde for oven diskontinuiteter. (En del flere kan ses). På figur fig:fract013 ses en diskontinuitet langs den negative del af den reelle akse.
Newtonfraktaler opstår gennem iterationer af Newtons iterationsformel for komplekse funktioner som for eksempel
For hvert punkt i den komplekse plan spørges: ``Hvor lang tid tager det at finde et nulpunkt for funktionen?'' Afhængigt af hvor lang tid, det tager, farves punktet med en bestemt farve.
Med lidt regneri kan man let overbevise sig om, at den komplekse konstant b svarer til en skalering og rotation af planen, og at den således er uden interesse for vores ærinde.
Med b=1 kan Newtons iterationsformel for funktionen p(z) udtrykkes ved
For komplekse tal er 
defineret som 
,
hvor 
er hovedlogaritmen for komplekse tal defineret som
. Hovedlogaritmen er derfor ikke
defineret for den negative del af den reelle akse. Ved at indsætte
får man at
og hvis vi skriver a som 
og z som 
bliver ligningen til
Hvis 
vil det diskontinuete skift i 
's fortegn
omkring den negative del af den reelle akse give anledning til et
diskontinuert hop i størrelsen af modulus af .
Det er dette hop, der giver anledning til de diskontinuiteter, man ser
i komplekse Newtonfraktaler, og som er vist på figurerne.
Figur 2: Newtonfraktalen for ligningen . Diskontinuiteten ved den negative del af den reelle akse kan
tydeligt ses. Koordinatsystemets nulpunkt ligger i centrum af
figuren.
Dette forklarer, hvorfor komplekse Newtonfraktaler har en diskontinuitet omkring den negative del af den reelle akse. (Se figur fig:fract013.)
Hvor kommer resten af diskontinuiteterne fra? Man kan tænke på Newtons iterationsformel (9), som en transformation af den komplekse plan. I hver iteration kastes punkterne hen til andre punkter. Punkter, der iteration efter iteration `følges ad', kan komme væk fra hinanden, hvis de kommer tæt på og på hver sin side af diskontinuiteten. Med andre ord: alle de diskontinuiteter, man finder rundt omkring, er transformationer af den oprindelige, som følger af potensfunktionens defintion.
Figur 3: Udsnit omkring den negative del af den reelle akse af
Newtonfraktalen for ligningen 
.
Som det ses af ligningen (9), giver 's
diskontinuitet også anledning til ændringer i argumentdelen af ,
hvis 
. Hvis 
`forsvinder'
diskontinuiteten, for i så tilfælde vil 
.
Men for ikke-komplekse ( 
) Newtonfraktaler med 
burde vi ifølge disse beregninger også se diskontinuiteter.
Der er to grunde til, at man aldrig hører folk undrer sig over dem:
For det første er det de færreste, der ser på ikke-heltallige
parametre, for det andet er fraktalen symmetrisk omkring
diskontinuiteterne og derfor er diskontinuiteterne knapt så
iøjenfaldende: Se figur 3, som viser et udsnit af en
ikke-kompleks Newtonfraktal med tre diskontinuiteter.
Det er nemt at indse symmetrien. For er
For 
er
og tilsvarende for 
er
Punkter på hver sin side af en diskontinuitet vil derfor være spejlinger af hinanden.
