Rasmus Borup Hansen
Den historiske udvikling i tallenes repræsentation og i selve talbegrebet er ganske fascinerende, fordi man kan drage mange paralleller til civilisationens udvikling. Det er nemt at komme til at fordybe sig i enkelt emne inden for tallenes historie, men det er også gavnligt at have et overblik. Et sådant overblik skulle denne artikel gerne give. Artiklen bygger hovedsageligt på [1, 2, 3, 4, 5].
De tidligste former for talrepræsentation (som stadig kan findes i primitive kulturer) er oftest baseret på fingre, stenbunker osv., nogle gange med konventioner om at erstatte en stor stenbunke med måske fem eller ti sten med en særlig ting. Den slags systemer ledte til de tidligste måde at repræsentere tal på, som hos babylonerne, ægypterne, grækerne, kineserne og romerne, men deres notationer var forholdsvis upraktiske, med mindre man kun skulle regne simple ting ud.
Babylonerne (som hører hjemme fra 2000 til 300 fvt.) havde faktisk to forskellige talsystemer. Det første system, som man sjældent hører om, blev kun brugt til tal fra dagligdagen. Det var en notation baseret på grupperinger i enere, tiere, hundreder, osv. Denne notation stammer tilbage fra tidligere mesopotamiske kulturer, og den blev sjældent brugt til store tal.
Når babylonerne skulle tackle sværere matematiske problemer brugte de
seksagesimalsystemet (grundtal 60), der var udviklet i hvert fald så
tidligt som 1750 fvt. Seksagesimalsystemet er bemærkelsesværdigt
bl.a. fordi det er et flydende talsystem (se artiklen om
talrepræsentation), hvor eksponenterne er udeladt. Kommaets position
måtte fremgå af sammenhængen. De enkelte ``cifre'' i babylonernes tal
var skrevet vha. symbolerne 
og 
, hvor antallet af
angiver enerne og angive antallet af tiere. Man
kan altså opfatte det babylonske seksagesimalsystem som en slags
flydende talsystem med blandet grundtal (skiftevis 6 og 10).
Babylonerne udviklede omkring 300 fvt. et symbol for nul. Det var
imidlertid ikke et nul i samme forstand som vores, idet det kun blev
brugt til at angive en tom plads midt inde i et taludtryk. Således
betyder både 1, 60, 
, 3600, 
,
etc.
Også Ægypterne havde to måder at repræsentere tal på. Det ene system
havde en hieroglyf for 1, 10, 100, 1000 og 10000, og et tal
repræsenteredes så ved et passende antal gentagelser af disse. Det
andet system (hieratisk skrift) havde et symbol for hvert af tallene
, 
, 
,
osv. Sædvanligvis skrev man i begge talsystemer symbolerne for de
mindste tal først, men ikke altid.
Ægypternes brøkregning foregik vha. stambrøker (dvs. brøker med 1 i
tælleren), idet de også havde symboler for 
. I
hieroglyf-talsystemet satte de tegnet 
over taltegnet, mens
de brugte en prik i det hieratiske talsystem.
Når en ægypter skulle gange f.eks. 12 med 13 skrev han et ettal med det ene af numrene (f.eks. 12) bagefter. På linjen nedenunder skrev han derefter de to tal fordoblet, og sådan blev han ved, indtil det første tal ikke kunne fordobles uden at blive større end den anden multiplikand. Det kommer altså til at se således ud (med hieroglyffer eller hieratisk skrift naturligvis):
| 1 | 12 |
| 2 | 24 |
| 4 | 48 |
| 8 | 96 |
| '1 | 12 | |
| 2 | 24 | |
| '4 | 48 | |
| '8 | 96 | |
| 13 | 156 |
Med denne multiplikationsmetode var tabeller over
stambrøksopløsninger af 
vigtige, da de skulle bruges til
multiplikation af brøker.
Også grækerne havde flere måder at skrive tal på. En af metoderne var simpelthen at tage forbogstaverne fra talordene:
| Tal: | 5 | 10 | 100 | 1000 |
| Navn: | penta | deka | hekto | kilo (chilo) |
| Bogstav: |  eller  |  |  |
 |
Man brugte også et system svarende til ægypternes hieratiske skrift:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| Enere: |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |
| Tiere: |  |  |  |  |  |  |
 |  |  |
| Hundreder: |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |
Det er værd at bemærke, at grækerne (i hvert fald matematikerne) skelnede skarpt mellem tal og størrelser, hvor ifølge Aristoteles (384-322 fvt.) størrelser er ``det, der kan deles i stykker, der igen kan deles uendeligt mange gange'', men tal fremkommer ud fra den udelelige enhed 1, der ikke selv opfattes som et tal. Denne skelnen daterer tilbage til pythagoræerne, der havde doktrinen, at ``alt er tal''. Omkring 430 fvt. stødte de imidlertid på det paradoks, at længden af diagonalen i et enhedskvadrat ikke kan udtrykkes vha. deres tal. Paradokset fik lov til at spøge i mange år, og der gik lang tid, hvor man ræssonerede ud fra længder af linjestykker i stedet for egentlige tal.
De fleste kende lidt til romertal fra ure, eller nummereringer i bøger. Vi bruger dem imidlertid slet ikke på samme måde, som romerne gjorde oprindeligt:
| Tal: | 1 | 5 | 10 | 50 | 100 | 500 | 1000 |
| Originalt: | I | V | X | L | C | D |  |
| Traditionelt: | I | V | X | L | C | D | M |
Den første kendte forekomst af titalssystemet i Europa er et manuskript Codex Vigilanus fra Spanien år 976. Traditionelt nævner man imidlertid Leonardo Pisanos (Fibbonacci) Liber Abaci fra 1202 som værket, der introducerer arabertallene, som de fejlagtigt kaldes, i Europa. På trods af navnet stammer arabertallene slet ikke fra Arabien, men fra Indien.
Symbolerne for de første ni cifre daterer tilbage til
Brahmi-tallene, som kan spores tilbage til midten af de tredje
århundrede fvt. Det er imidlertid ikke selve symbolerne, der er det
centrale, men derimod brugen af dem og idéen med et positionssystem.
Babylonerne havde som nævnt et positionssystem med grundtal 60, men
det blev formentlig ikke brugt meget i hverdagssituationer. Kineserne
havde et multiplikativt system med grundtal 10, og indtil omkring år
600 havde inderne symboler for 
, , 100 og
1000. Store tal repræsenterede inderne (ligesom kineserne) ved at
kombinere et af de ni første symboler med symbolet for 100 eller 1000.
Omkring år 600 droppede de imidlertid symbolerne for 
og
brugte udelukkende de multiplikative system.
Den syriske biskop Severus Sebokht beskrev i 662, hvordan hinduerne havde en værdifuld måde at regne ``vha. ni tegn''. Han nævner intet om et symbol for nul, men i Bakhshāl¯ı-manuskriptet, der også er fra det 7. århundrede, finder man tal, hvor man bruger en prik til at repræsentere nul (dvs. en tom plads, ikke tallet nul).
På grund af Islams udbredelse blev det gennem araberne, indertallene skulle brede sig til resten af verden. I 773 blev den indiske astronomiske tekst Siddhānta bragt til Baghdad, hvor den blev oversat til arabisk. Ud over Siddhānta indeholdt værket også en beskrivelse af indertallene, og langsomt begyndte kendskaben til dem at sive ud i Islams matematik. Den ældste kendte tekst om indertal er Kitāb al-jam'wal tafrīq bi hisāb al-Hind (Bog om addition og subtraktion efter indernes metode) af Muhammad ibn-Mūsā al-Khwārizmī (ca. 780-850); hans navn genfindes i ordet ``algoritme'', og han skrev også en bog, hvori ordet ``al-jabr'' indgik i titlen--deraf ordet ``algebra''. Al-Khwārizmī's bog om indertal findes kun i latinske oversættelser, hvor en cirkel som symbol for nul er dukket op. Dette symbol stammer muligvis fra det græske ord ``ouden'', der betyder ``ingenting''.
Inderne brugte ikke decimalbrøker (men kineserne havde noget tilsvarende), og den første forekomst af decimalbrøker er i Kitāb al-fusūl fi-l-hisāb al-Hind¯ı af Abu l-Hasan al-Uqlīdīsī i 952. Metoden (og også regnemetoder) blev færdigudviklet af al-Samaw'al ibn Yahyā ibn Yahūda al-Maghribī og Ghiyāth al-Dīn Jamshīd al-Kāshī i hhv. det 12. og 15. århundrede.
I mellemtiden var titalssystemet begyndt at vinde indpas i Europa, bl.a. pga. Leonardo Pisanos Liber Abaci. Skønt overgangen ikke var helt problemfri. Omkring år 1300 blev vores tal f.eks. forbudt i handelsdokumenter i nogle af Europas byer, fordi det bl.a. var for nemt at ændre et 0 til 6 eller 9.
Omkring år 1600 var titalssystemet alment brugt til at angive tal og foretage udregninger. Vi skal imidlertid helt frem til den franske revolution i 1789, før også måleenheder blev baseret på multipla af 10. Det er værd at bemærke, at englænderne kollektivt havde opfundet det binære talsystem allerede i det 13. århundrede. Deres rummål var følgende:
Formelle studier af talsystemer med andre grundtal begyndte imidlertid først langt senere. De første studier af det binære talsystem skete i 1605 af Thomas Harriot (1560-1621), der imidlertid ikke publiserede nogle af sine opdagelser. Pascal (1623-62) viste som den første, at ethvert heltal større end 1 kan bruges som grundtal. Han bemærkede endvidere, at et talsystem baseret på 12 ville være en velkommen forandring. I 1673 forsøgte Erhard Weigel at udbrede brugen af det kvartære talsystem (grundtal 4). Det var Leibniz (1646-1716), der i 1703 var den første, der publiserede en grundig gennemgang af det binære talsystem, og man opfatter ham som faderen til binær aritmetik. Han gennemgik de 4 regnearter og værdsatte det binære talsystem, fordi mønstre i talfølger skulle være mere synlige end i titalssystemet.
Det er interessant at bemærke, at man på Leibniz's tid endnu ikke
havde forstået betydningen af negative eksponenter fuldt ud. F.eks.
bad Leibniz Jakob Bernoulli om at beregne en tilnærmelse til i
det binære talsystem. Bernoulli tog en 35-cifres decimal
approksimation af , multiplicerede den med 
og gav dette
tal skrevet i det binære talsystem som svar! Dette svarer til at sige,
at 
, og da 
, er lig 100111010
i det binære talsystem!
En anden underholdende historie er, at den svenske konge Karl den 12.
af Sverige, som måske var den mest matematisk begavede konge i
historien, fik idéen om et oktalt talsystem i 1717. Selvom han havde
mødt Leibniz kort i 1707 var det formentlig hans egen idé, og han
mente, at talsystemer med grundtal 8 eller 64 ville være mere egnet
til beregninger. Han overvejede at indføre det oktale talsystem i
Sverige, men han blev dræbt
i kamp
mod Danmark-Norge i 1718, inden han fik udstedt sit dekret. Vi kan i
hvert fald godt finde pudsemidlet til nationalglorien frem for måske
at have frelst svenskerne fra det oktale talsystem...
Over hundrede år senere var der en svensk-amerikansk ingeniør, John W.
Nyström, der forsøgte at føre Karl den 12.'s planer et skridt videre.
Han udtænkte et komplet system til mål og vægt baseret på det
heksadecimale talsystem. Nyström lavede endda et system til at udtale
heksadecimale tal. F.eks. skulle 
udtales
``vybong, bysanton''.
I 1637 udgav René Descartes (1596-1650) Discours de la Méthode, hvori han havde et appendiks La Géométrie, der var skelsættende for matematikken. Heri demonstrerede Descartes nemlig, hvordan man kan opfatte algebraiske symbolmanipulationer som ``forkortelser'' for geometriske konstruktioner. Lige siden de gamle grækere havde grundlaget for matematikken været den euklidiske geometri; nu blev algebraisk manipulation accepteret på lige fod.
Dette bevirkede også en ændring i opfattelsen af talbegrebet. Siden de
gamle grækere opdagede, at 
er irrational, havde man ikke
knyttet et tal (en længde) til alle linjestykker. Denne opfattelse
blev nu så småt ændret, idet man så, at ækvivalensen mellem
symbolmanipulationer og geometriske konstruktioner og
infinitesimalregningen, der så småt opstod med Newton og Leibniz
omkring år 1700, gjorde det bekvemt. Der gik imidlertid lang tid, før
de reelle tal--ligesom de øvrige talmængder--fik et formelt
grundlag.
Omkring år 1510 havde Scipione del Ferro (1465-1526) opdaget, hvordan man kan finde rødder i tredjegradspolynomier. Han udgav ikke noget om det, men videregav løsningen bl.a. til sine elev Antonio Maria Fiore (1500-58). Samtidig var rygtet begyndt at sprede sig i italienske matematikkredse, og en anden italiensk matematiker Niccolò Tartaglia (1499-1557) mente, at også han havde opdaget løsningen. I 1535 udfordrede Fiore Tartaglia til en offentlig matematisk dyst, hvor de stillede 30 opgaver til hinanden. Alle Fiores opgaver handlede på en eller anden måde om tredjegradsligningen, men Tartaglia løste dem alle og vandt dysten. Senere overtalte Gerolamo Cardano (1501-76) Tartaglia til at give sig løsningsformlen, men han måtte sværge på aldrig at ville publisere den. Tartaglia overbragte Cardano hemmeligheden på digtform (her i engelsk oversættelse):
When the cube and its things near
Add to a new number, discrete,
Determine two new numbers different
By that one; this feat
Will be kept as a rule
Their product always equal, the same,
To the cube of a third
Of the number of things named.
Then, generally speaking,
The remaining amount
Of the cube roots subtracted
Will be your desired count.
For en god ordens skyld giver vi en letlæselig udgave. Ligningen
løses af
Cardano publiserede imidlertid alligevel formlen i Ars Magna i 1545.
Men hvad har tredjegradsligningen med talbegrebet at gøre? En hel
del. Løsningsformlen giver nemlig i nogle tilfælde anledning til
komplekse mellemregninger, selvom resultatet bliver reelt. Man kunne
indse, at ligningen havde en reel løsning, og naive mellemregninger
med f.eks. 
gav også de
ønskede resultater (f.eks. har ligningen 
den reelle
løsning 4, men undervejs optræder 
). Komplekse tal blev
senere videreudviklet af Raffal Bombelli (1526-73), Albert Girard
(1595-1632), De Moivre (1667-1754), Euler (1707-1783), Caspar
Wessel (1745-1818), J.R. Argand (1768-1822) og C.F. Gauss
(1777-1855).
Først i 1800-tallet fik man konstrueret de reelle tal formelt. Det var Dedekind (1831-1916), Weierstrass (1815-97), Heine (1812-81) og Cantor (1845-1918), der især var betydningsfulde (se artiklen om talkonstruktion andetsteds i bladet). De naturlige tal blev imidlertid først konstrueret formelt af Peano i 1889 lang tid efter de reelle tal.
Tallenes historie er ganske underholdende og fortjener at blive sat lidt i perspektiv.
Ægyptisk multiplikation kan forekomme besværligt, men hvis man studerer algoritmen nærmere, finder man ud af, at det svarer ganske nøje til det, vi gør i dag--bare med binære tal. Langt de fleste multipliaktioner, der bliver udført i dag, foregår i computere og dermed med binære tal og ægyptisk multipliakation!
Babylonernes talsystem lever også i bedste velgående. Deres seksadecimale talsystem lever ikke kun i vores minutter og sekunder, men den egenskab, at kommaet fremgik af sammenhængen, genfinder man i dag i flydende tal (se artiklen om talrepræsentation), der i vid udstrækning bruges af computere.
Endelig er det tankevækkende, at det formelle grundlag for de reelle tal blev udviklet tidligere end grundlaget for de naturlige, selvom disse med rette kan opfattes som den mest fundamentale talmængde.