Karen Mohr - Hanne Eggert
Cantors interesse for mængdeteorien begyndte først efter, han havde afsluttet sine universitetsstudier i Berlin. På universitetet i Halle mødte han Edward Heine (1821-81), som bl.a. arbejdede med trigonometriske rækker. Det var igennem Heine, Cantor blev interesseret i dette emne. I 1870 kom Heine frem til denne sætning, vedrørende entydigheden af repræsentationen af en funktion ved en trigonometrisk række:
[Sætning.]Lad f(x) være en
generelt
kontinuert
funktion. Hvis den trigonometriske række til f(x) er generelt
uniformt konvergent, vil f(x) være entydigt repræsenteret ved
rækken.
I forudsætningerne indgår endelige mængder af punkter (undtagelsespunkter), hvor funktionen ikke er kontinuert, eller rækken ikke er uniformt konvergent. I forsøget på at generalisere sætningen, måtte Cantor se nærmere på disse undtagelsespunkter.
Han forsøgte sig med uendelig mange undtagelsespunkter og denne mængdes fortætningspunkter. Først så han på tilfældet, hvor mængden kun havde ét fortætningspunkt, og dette så han ikke nogen større problemer i. Han udvidede ved et induktionsargument hurtigt til endeligt mange og derfra videre til uendelig mange fortætningspunkter.
Nu var Cantor ved at bevæge sig ud på et område, som ikke dengang havde været genstand for megen forskning. For at kunne holde styr på de mange fortætningspunkter og undtagelsespunkter, måtte han have en stringent teori for de reelle tal, så han startede sit omfattende arbejde med at opstille en ny definition af disse. Han tog udgangspunkt i rationale talfølger, ligesom Weierstrass havde gjort.
Via dette arbejde fattede Cantor interesse for de uendelige
punktmængder. Han viste bl.a. tælleligheden af 
og
overtælleligheden af 
og så også, at og
har samme mægtighed. Som led i hans arbejde med mængders
mægtigheder kom han ind på kontinuumshypotesen.
I 1872 mødte Cantor for første gang Richard Dedekind (1831-1916) på en rejse i Schweiz. Dette møde udviklede et varmt venskab, mange breve og møder. De mødtes jævnligt i Harzen for at diskutere -- også i 1874, da Cantor var på bryllupsrejse med sin kone Vally Guttmann. Brevvekslingen mellem Dedekind og Cantor er af stor betydning for Cantors resultater.
Det er værd at bemærke, at Cantor arbejdede alene med sine teorier. Der var ikke tidligere forsøgt udviklet en mængdelæreteori baseret på uendelige mængder, og måske netop derfor tog det Cantors idéer, mange år at slå igennem. Han havde svært ved at overbevise samtidens matematikere om rigtigheden af sine opdagelser, og mange modarbejdede Cantor, i særdeleshed Kronecker.
Cantor arbejdede længe på sine mængdeteoretiske overvejelser, men har alt i alt kun udgivet, hvad der svarer til et enkelt værk af godt 500 sider. De enkelte er samlet i værket ``Georg Cantor Gesamelte Abhandlungen'' fra 1932.
I 1918 døde Cantor 73 år gammel på en nerveklinik i Halle. Han led af maniodepressivitet og fra midten af 1880'erne kom anfaldene stadig hyppigere. Hans vanskeligheder med at blive accepteret og anerkendt af sine samtidsmatematikere, har måske påvirket forløbet.