Jette Randløv
For lidt over et år siden trykte FAMØS en artikel med titlen ``At stemme eller ikke at stemme'', [2] Følgende citater fra dialogen i artiklen skulle give et indtryk af det væsentlige:
M: Hvis jeg stemmer på Socialdemokratiet i stedet for på de Konservative, så får Socialdemokraterne 852.512 stemmer i stedet for 852.511 stemmer, og de Konservative får 413.639 stemmer i stedet for 413.640, hvilket resulterer i nøjagtig den samme fordeling i Folketinget. Ergo er det ligegyldigt, hvem jeg stemmer på.
H: [...] Hvis alle hørte på dig, så ville demokratiet gå i stykker.M: Ja, det er rigtigt. Det er ikke ligegyldigt, at jeg siger, det er ligegyldigt. Hvis jeg får andre til at gøre, som jeg gør, så har det stor betydning.
M: [...] Der er en frygtelig masse information i vælgernes stemmeafgivelse. Denne mængde information reduceres ganske betydeligt. For det første er man ligeglad med, hvem hr. Hansen stemte på. [...] Derefter reduceres informationen yderligere, idet man er ligeglad med nøjagtigt hvor mange, der stemte på Enhedslisten. Det man hæfter sig ved er, om det var over to procent og i bekræftende fald, hvor mange mandater de skal have, hvilket jo afgøres i spring på cirka en halv procent af vælgerne, svarende til cirka 20.000 vælgere. [...] Og det er netop i denne reduktion, at individet går tabt. Kun masserne kan overleve valglovens grønthøster.
I denne artikel vil jeg forsøge at give et svar på disse påstande, men først vil jeg lægge vejen rundt om fangens dilemma og Hofstadters superrationale strateg.
Fangens dilemma går ud på, at to fanger, som holdes fængslet i hver sin celle, begge får at vide, at de vil blive idømt 2 års fængsel, hvis ingen af dem angiver hinanden. Angiver den ene den anden, får den ene 1 års fængsel og den anden 5 år. Angiver de begge hinanden, får de begge 4 år.
Den ene fange vil altså uafhængigt af den anden fanges valg få mindst straf, hvis han angiver den anden.
| A angiver | A angiver ikke | |
| B angiver | (4, 4) | (5, 1) |
| B angiver ikke | (1, 5) | (2, 2) |
Det er lige omvendt, hvis man ser på det samlede antal fængelsår. Jo færre der angiver, jo færre år skal de til sammen tilbringe i fængsel.
| A angiver | A angiver ikke | |
| B angiver | 8 | 6 |
| B angiver ikke | 6 | 4 |
Fangen er altså stillet over for to modstridende strategier: Lokal optimering og global optimering. Lokal optimering er her at angive den anden, global er at lade være.
Der findes ud over de to nævnte endnu en stategi. En person, der følger denne strategi, ræssonerer: Alle deltagere i dilemmaet er i samme situation og kan ræssonerer ens, derfor vil de følge samme strategi. Den rette stategi er den, jeg ønsker, alle skal følge.
Douglas R. Hofstadter kalder den, som følger denne strategi, en superrational tænker. I fangens dilemma er denne strategi ikke at angive.
Dilemmaet findes i adskillige varianter. Alle bygger på valget mellem to modstridende strategier. En simpel variant optræder på et eller andet tidspunkt i de flestes barndom: Skiltet med Græsset må ikke betrædes får kun græsset til at se endnu mere grønt og indbydende ud. Hvis alle bukkede under for fristelsen, ville der snart ikke være nogen fristelse, men hvis kun én gjorde det, ville det næsten ikke gøre nogen forskel. De fleste børn bliver ved den slags lejligheder bedt om at overveje konsekvenserne af, hvis alle benyttede strategien til lokal optimering: Tænk, hvis alle gjorde det.
Douglas R. Hofstadter er ophavsmand til en af de mest pudsige og
udspekulerede varianter af fangens dilemma. I Scientific
American annoncerede han Luring Lottery
. Alle læsere og ikke-læsere af Scientific
American kunne indsende et postkort med det antal af lodder, de
ønskede, og derefter deltog de i lodtrækningen med dette antal lodder.
Den person, hvis lod blev trukket, ville modtage $1.000.000/N, hvor
N var det samlede antal af lodder.
Læsere af denne artikel, som holder af pudsige matematiske problemer, kan forsøge at finde den superrationale strategi. Vi antager en idealiseret verden, hvor læsere og ikke-læsere af Scientific American ikke har mulighed for at kontakte hinanden. Løsningforslag må meget gerne sendes til redaktionen (famos@math.ku.dk), så trykker vi den i næste nummer.
Et stort antal af lodder gør ens chancer for at vinde større, men formindsker på den anden side præmien tilsvarende. Den enkelte har altså numerabelt mange strategier at vælge imellem. Jo mindre et tal man indsender, jo mere optimerer man præmiestørrelsen til alles bedste. Jo større et tal, jo mere egoistisk handler man - dog indtil en hvis grænse. Hvis vi antager, at mindste gangbare mønt i USA er en 10-cent, vil et postkort med at tal større end 20.000.000 sikre, at præmien reduceres til 0, altså i alle tilfælde en dårlig strategi - med mindre ens strategi går ud på at sikre Scientific American's videre eksistens...
Hvad skete der så? Fulgte læserne en rimelig fornuftig strategi? Nogle gjorde, og andre gjorde ikke. Hofstadters tabel, over de postkort med tal han modtog, ser således ud:
| Tal | Antal postkort |
| 1 | 1.133 |
| 2 | 31 |
| 3 | 8 |
| 4 | 8 |
| 5 | 16 |
| 6 | 0 |
| 7 | 9 |
| 8 | 1 |
| 9 | 1 |
| 10 | 49 |
| 100 | 61 |
| 1000 | 46 |
| 1.000.000 | 33 |
| 1.000.000.000 | 11 |
 (Avogadros tal) | 1 |
 (en googol) | 9 |
 (en googolplex) | 14 |
Derudover modtog Hofstadter et antal postkort med rigtig store tal: 9 efterfuldt af et stort antal fakultetstegn, og et postkort med nogle matematiske definitioner og et tal skrevet ved hjælp af disse. Hofstadter skriver:
As it turns out, I don't know who won, and it dosn't matter, since the prize is zero to such a good approximation that even God wouldn't know the difference.
I dette lotteri var det tilstrækkeligt, at en person indsendte et stort tal for at spolere legen. I langt de fleste dilemma-tilfælde i hverdagen skal der mere til, end at en person handler efter lokal-optimerings-strategien for at ødelægge det for alle. Hvis dette ikke var tilfældet, var det tvivlsomt, om vores samfund ville være stabilt.
I hverdagssituationer guides man oftest til den rette handling ved at tænke på det, man hørte utallige gange som barn: Tænk, hvis alle gjorde sådan. Denne måde at bedømme handlinger på har dog flere problemmer. Den første indvending er da også den, ethvert barn kommer med: Jamen, det gør alle ikke. Et andet problem er følgende: Hvorfor basere målet for ``den rette handling'' på hypotetiske og ikke på faktiske forekommende begivenheder?
Alligevel har denne simple formaning fat i den lange ende. Det er en tanke meget lig denne, som leder den superrationale til sin strategi.
I Hofstadters første artikel refererer han også en anden konkurrence,
han afholdt blandt sine venner. Han sendte et enslydende brev til 20
af sine venner. Der stod at de skulle melde tilbage med bogstavet C
(cooperate) eller D (defect). Derefter ville en præmie blive
udbetalt. Hvis man havde meldt C, ville man få 3 
antal
C'er og intet pr. D'er. Hvis man havde meldt D, ville man få 5
antal af C'er + 1 antal af D'er.
Hofstadter forventede nu, at et stort antal af tilbagemeldingerne ville blive C. Han ræssonerede på følgende måde: Hver af de 20 modtagere ville gøre sig nogle overvejelser, og de ville i disse overvejelser inddrage den viden, at de øvrige deltagere gør helt tilsvarende overvejelser. Hvis flere deltagere gør samme overvejelser, vil de komme til samme konklusion og træffe det samme valg. Disse deltagere ville altså alle melde C eller D. Det er bedst både for den enkelte og for dem alle, hvis de melder C. Derfor melder de C. Hofstadter regnede med andre ord med, at en stor del af hans venner ville gennemføre den superrationale tankerække. I artiklen lægger han vægt på, at det ikke var et valg, de skulle træffe, men en kæde af logiske slutninger, som førte til et resultat, helt analogt til et regnestykke. En person, der melder C ud fra disse overvejelser, har ikke truffet et valg, men fundet et facit.
Hofstadters pointe er, at hvis man mener, man tilhører en masse, bør man handle, som man ønsker, at massen skal handle som helhed.
Slemt skuffet blev han dog: 14 meldte D og kun 6 C, og ingen af disse ud fra en overvejelse, der minder om den, han havde forventet.
Den super-superrationale tænker indrager også den
informationsreduktion, der er i stemmeoptællingen. Det er ikke
nødvendigt at alle stemmeberettigede stemmer; det er lige så godt,
hvis et tilfældigt valgt befolkningsudsnit (og på mindst ca. 5000)
stemmer. Så den super-superrationale tænker tager en terning med
øjne og slår en gang.
Hvis 1 kommer ud bliver han nødt til at lette sig fra sofaen og stemme
- ellers kan han bliver liggende. Dette vil dog ikke virke i praksis,
da en af den super-superrationale tænkers præmisser er forkert: Ikke
alle vælgere er super-superrationale!
Men al den nydelige rationale tænkning tiltrods føler man alligevel til tider mismodet brede sig. Flere gange har jeg hørt ordvekslinger som:
- Politiker X. er et fjols.% - Vi kan ikke uden videre kritiserer politikerne. Vi har selv valgt dem.
- Jeg stemte ikke på ham.
Tilbage er Hofstadters pointe, om at man bør handle, som man ønsker, massen skal handle. Den enkelte FAMØS-læser ønsker, at massen af FAMØS-læsere skriver nogle artikler, så FAMØS forsat kan bestå. På trods heraf er der ingen, der gør det, for alle tror, at der er en anden, som gør det. Er det ikke pudsigt?