Kennie Nybo Mortensen
I matematik 2AN regner man en opgave om, at produktet af to kompakte mængder i et metrisk rum er kompakt. Dette gælder helt generelt i topologi: Sætning (Tychonoff): Et vilkårligt produkt af kompakte rum er kompakt i produkttopologien. De af læserne, der har snuset lidt til aksiomatisk mængdelære, vil straks spørge sig selv, ``Vilkårlige produkter, kræver det ikke brug af udvalgsaksiomet?'' Jo, det gør det. Se bare her:
Udvalgsaksiomet: For enhver ikke-tom mængde X findes en
udvalgsfunktion 
, sådan at 
for alle 
Givet et system 
af mængder defineres
produktmængden 
, som mængden af funktioner 
, sådan at 
.
Udvalgsaksiomet og Tychonoffs sætning er altså
ækvivalente. For at vise, at udvalgsaksiomet kan bevises (hvis man
bruger Tychonoffs sætning som aksiom), er det altså nok at
vise at 
.
Først et Lemma: Hvis X er en mængde og 
er
systemet af endelige delmængder af X, så er 
de afsluttede mængder i en topologi på X. (Vi
kalder denne for 
topologien).
Bevis: En øvelse for læseren...
Lemma: Hvis en mængde X udstyres med topologien,
da er X kompakt.
Bevis: Endnu en øvelse for læseren...(Det er tilladt at bruge det endelige udvalgsaksiom).
Vi kan nu endelig bevise følgende:
Sætning: For enhver familie af ikke tomme mængder , er .
Bevis: Vi plomberer først alle mængderne med et ekstra punkt: 
, og udstyrer hver 
med topologien hvis subbasis
er 
. I denne topologi
bliver kompakt (indse det!).
, da funktionen 
ligger i produktet.
er kompakt ifløge Tychonoffs sætning.
er afsluttet i , idet 
er åben og projektionerne er kontinuerte.
Ethvert endeligt snit af 
mængder er ikke tomt, thi man kan bruge det
endelige udvalgsaksiom på de tilhørende 
mængder og sætte
udvalgsfunktionen lig 
på resten af 'erne.
er altså et system af afsluttede delmængder af
med den egenskab, at ethvert endeligt snit herfra er ikke
tomt. Da er kompakt, vil derfor også 
, men 
. 