Sværhedsgrad og eksempler på opgaver

Jeg vil i dette afsnit forsøge at give et indtryk af, hvor svære opgaverne er i de forskellige konkurrencer. Læseren kan evt. more sig med at (forsøge at) løse opgaverne. Tilladte hjælpemidler er skrive- og tegneredskaber.

Georg Mohr består af 5 opgaver, som skal løses på 4 timer. Opgaverne bygger ikke på kendskab til matematik udover, hvad der kræves på det matematiske gymnasiums obligatoriske niveau. Her er opgavesættet fra dette års konkurrence:

Opgave 1 Et vinglas med tværsnit som vist har den egenskab, at en appelsin af form som en kugle med radius 3 cm lige netop kan ligge i glasset uden at rage op over glasset. Bestem højden h af glasset.

Opgave 2 Et tog gennemkører en bestemt strækning med konstant fart. Hvis farten sættes op med 10 km/time, kan turen gøres 40 minutter hurtigere. Hvis farten derimod nedsættes med 10 km/time, tager turen 1 time længere. Hvor lang er den gennemkørte strækning?

Opgave 3 Tredjegradspolynomiet har de tre rødder a, b og c. Angiv et tredjegradspolynomium med rødderne og .

Opgave 4 I en retvinklet trekant, hvori alle sidelængderne er hele tal, har den ene katede længden 1994. Bestem længden af hypotenusen.

Opgave 5 I en retvinklet og ligebenet trekant har de to kateder begge længden 1. Find længden af det korteste linjestykke, der deler trekanten i to figurer med samme areal, og angiv dette linkestykkes placering.

Som nævnt er sværhedsgraden over det niveau, som findes i gymnasiet. Opgaverne er dog ikke sværere end de fleste af dem kan løses alene ud fra en rimelig solid formalistisk kunnen. Er man lidt bekendt med den slags opgaver, så er de faktisk helt lette (nu er det jo også et par år siden, jeg gik i gymnasiet). Det svære i opgaverne består i, at man selv skal foretage en analyse af problemstillingen (i gymnasiet bliver man jo oftest bare bedt om at gøre dette eller hint). Det er helt bevidst, at opgaverne er så lette, idet Georg Mohr skal være et tilbud til almindeligt dygtige elever. Der stilles dog altid et par svære opgaver, således at de bedste elever kan udskille sig. Nogle af arrangørerne ser gerne, at disse svære opgaver bliver endnu sværere. I den forbindelse vil jeg gerne fremhæve den sidste opgave fra 1991, idet den slet ikke er let, hvis man ikke kender skuffeprincippet:

Opgave 5 (1991) Vis, at uanset hvordan 15 punkter afsættes inden for en cirkel med radius 2 (cirkelranden medregnet), vil der eksistere en cirkel med radius 1 (cirkelranden medregnet), som indeholder mindst 3 af de 15 punkter.

I den Nordiske Matematikkonkurrence stilles 4 opgaver, som skal regnes på 4 timer. Opgaverne her adskiller sig i sværhedsgrad fra Georg Mohr derved, at de kræver et større kendskab til matematik. Det vil bla. sige kendskab til elementær talteori (specielt restklasseregning), diverse uligheder (i særdeleshed Cauchy-Schwarz) samt diverse klassiske plangeometriske læresætninger, typisk om trekanter, f.eks. Ceva's Sætning---ting, som er blevet nedprioteret i den danske undervisning. Det er således nødvendigt at forberede deltagerne, før de kan deltage i denne konkurrence. Desuden kræver opgaverne mere fantasi og flere gode ideer... døm selv:

Opgave 1 (1990) Lad m, n og p være ulige positive hele tal. Vis at tallet er deleligt med n.

Opgave 3 (1991) Vis, at for alle .

Opgave 2 (1993) En sekskant er indskrevet i en cirkel med radius r. To af sekskantens sider har længde 1, to har længde 2 og endelig har de sidste to sider længde 3. Vis, at r er rod i ligningen .

Opgave 4 (1993) For ethvert positivt helt tal n er defineret som summen af cifrene i titalsfremstillingen af n.

a)

Find et positivt helt tal N så er lige for alle hele tal k, , mens er ulige.

b)

Vis, at der ikke eksisterer noget positivt helt tal N, så er lige for alle positive hele tal k.

Opgave 1 (1994) Lad O være et indre punkt i den ligesidede trekant ABC med sidelængden a. Linierne AO, BO og CO skærer trekantens sider i punkterne , og . Vis, at .

Opgave 2 (1994) En endelig mængde S af punkter i planen med heltallige koordinater kaldes en to-nabo-mængde, hvis der for ethvert punkt i S gælder, at netop to af punkterne , , og er med i S. For hvilke værdier af n findes der en to-nabo-mængde med netop n punkter?

I den Internationale Matematik Olympiade afholdes konkurrencen over to dage, med hver 4.5 timer til 3 opgaver. Opgaver i IMO er svære (læs: rigtig svære). Når man har siddet med dem et stykke tid (dvs. betydelig mere end 4.5 timer), så opdager man til sin overraskelse, at nogle af dem rent faktisk kan løses af almindelige dødelige. Tidspresset gør dog, at alle de sætninger og resultater, som antages kendt, skal sidde på rygmarven, for at man har nogen chance. Udover at man således skal kende temmelig mange resultater om trekanter, talteori, polynomier, uligheder osv., så skal man helst også få en god idé. Opgaverne kan sjældent løses ved, at man bare kører på. De sværeste af opgaverne kræver nærmest guddommelig inspiration. Husk, at det er en gymnasieelev, som skal løse 3 af denne slags opgaver på 4.5 timer (for god ordens skyld må jeg hellere indrømme, at jeg er blevet fristet til at tage mange ``opgave 6'''ere med, som typisk er den sværeste opgave i sættet):

Opgave 1 (1986) d er et positivt helt tal, forskelligt fra 2, 5 og 13. Vis, at man i mængden kan finde to forskellige elementer a og b, således af ab-1 ikke er et kvadrattal.

Opgave 6 (1990) Vis, at der findes en konveks 1990-gon med følgende to egenskaber:

(a)

alle vinkler er lige store;

(b)

sidernes længder er tallene i en eller anden orden.

Opgave 1 (1991) Lad en trekant ABC være givet. Og lad I være centrum af den indskrevne cirkel. De indvendige vinkelhalveringslinier af vinklerne A, B og C skærer de modstående sider i hhv. og . Bevis, at .

Opgave 6 (1991) En uendelig følge af reelle tal kaldes begrænset, hvis der findes en konstant C, så for alle . Der er givet et vilkårligt reelt tal a>1. Konstruer en begrænset uendelig følge så , for ethvert par af forskellige ikke-negative hele tal i, j.

Opgave 1 (1992) Find alle hele tal a,b,c hvor 1<a<b<c, så at går op i abc-1.

Opgave 3 (1993) På et uendeligt stort skakbræt spilles et spil på følgende måde: I starten danner brikker et kvadratisk net af felter med n horisontale og n vertikale rækker. Et træk i spillet er, at en brik kan hoppe over et optaget nabofelt til dettes nabofelt, hvis det ikke er optaget. Samtidig fjernes brikken, som blev hoppet over. Retningen af hoppene er enten horisontale eller vertikale. Bestem for hvilke n dette spil kan slutte med én brik tilbage på brættet.

Opgave 6 (1994) Vis, at der findes en mængde A af positive heltal, så: For enhver uendelig mængde S af primtal eksisterer der to positive heltal og , som hver er et produkt af k forskellige elementer fra S for et .

Jeg har ikke selv deltaget i Baltic Way konkurrencen. Det er dog mit indtryk, at sværhedsgraden er omtrent den samme som i den Nordiske konkurrence. At opgaver løses i fællesskab skal nok tages med lidt forbehold. De 5 deltagere skal på 4 timer løse 20 opgaver. Det betyder, at opgaver ikke løses i en (thedrikkende) rundkreds men uddeligeres til de enkelte deltagere. Samarbejdet består mest i, at deltagerne skal være villige til at slippe en opgave til en af deres medløsere, hvis de ikke selv kan løse pågældende opgave. Her kommer de første 6 opgaver fra konkurrencen i 1993:

Opgave 1 og er to tre-cifret decimal tal, med og forskellige tal, som ikke er nul. Kvadrater af disse tal er fem-cifret tal og henholdvis. Find alle sådanne tre-cifret tal.

Opgave 2 Findes der positive heltal a > b > 1 således, at der for alle positive heltal k findes et positivt heltal n så an+b er en k-potens af et positivt heltal?

Opgave 3 Lad os kalde et positivt heltal interessant, hvis det er et produkt af to (ens eller forskellige) primtal. Hvad er det største antal af på hinanden følgende interessante positive heltal?

Opgave 4 Bestem alle heltal n så

er et heltal.

Opgave 5 Bevis, at for alle ulige positive heltal n er delelig med .

Opgave 6 Antag, at to funktioner og er defineret for alle x, 2 < x < 4, og opfylder , , og for alle 2 < x < 4. Bevis, at .

I de sidste afsnit vil jeg beskæftige mig med den elitære del af disse konkurrencer.