Martin Jul - Rasmus Borup Hansen
Opgaven går ud på at vise, at der i et land med endeligt mange byer, kun ensrettede vej og netop en direkte vej mellem hvert par af byer findes en by, der har forbindelse til alle andre byer.
Løsningen er et simpelt induktionsbevis: Lad n være antallet af byer. For n=0,1,2 er der intet problem, og induktionstrinnet er lige så nemt: lad a være den by, hvorfra der er forbindelse til alle de første n byer. Lad b være den n+1'ste by. Hvis der er en lovlig vej fra a til b, er a den søgte by, ellers er det b.
En funktion, f, af typen
når 
kaldes replikativ.
Denne opgave stammer fra D. E. Knuths fremragende bog, The Art of Computer Programming. Volume 1: Fundamental Algorithms, 2nd ed.
opfylder klart formelen, når
x er heltallig, og fører vi x forbi et tal af formen m/n, hvor
, forøges både højre og venstre side med én.
Funktionen 
er replikativ, hvilket ses ved at benytte
identiteten 
.
Funktionen 
er replikativ, hvilket følger af, at
. Entydigheden af
k er oplagt, hvorved det ønskede følger. At
er replikativ ses på
tilsvarende vis.
For at vise, at 
er replikativ, bemærker vi, at
de kommer ud på, at
Vi viser nu den mere generelle identitet
. Af Eulers formler fås, at 
, og identiteten følger nu af de
to formler
hvor den sidste gælder, fordi 
er replikativ, og den
første fordi vi kan sætte z=1 i faktoriseringen af polynomiet
, hvor
.
Summen af to replikative funktioner er klart replikativ, og det samme gælder naturligvis for en konstant gange en replikativ funktion.