Foregående: Tal Op: FAMØSmarts 1996 Næste: Litteratur

Konstruktion af tallene

Rasmus Borup Hansen

De fleste har en eller anden idé om, hvad et naturligt eller et reelt tal er, og har slet ikke brug for at vide, hvordan man kan konstruere dem formelt. Det kan imidlertidt være betryggende mindst en enkelt gang at have set, hvordan tallene kan indføres formelt. Derfor bringer vi en overfladisk konstruktion af , , , og , idet vi bemærker, at disse historisk set er konstrueret i en helt anden rækkefølge; mere om det senere.

Konstruktion af

Det er hensigtsmæssigt at betragte mængden , dvs. de naturlige tal og nul, i stedet for blot de naturlige tal . Mængden er karakteriseret af Peanos aksiomer, hvori der indgår en funktion S, der til ethvert tal i knytter en efterfølger, der også er et naturligt tal. Udover en efterfølgerfunktion, må vi også antage konstanten for givet. Vi har så, at de naturlige tal er karakteriseret af følgende:

1. Nul er ikke efterfølger for noget naturligt tal, dvs.

   

2. Efterfølgerfunktionen er injektiv, altså

   

3. Man kan lave induktion over de naturlige tal, udtrykt ved

   

   En delmængde af , der indeholder nul og efterfølgeren til hvert af dens elementer, må være hele .

Hvis vi har Zermelo-Fraenkels mængdeteoretiske aksiomer til rådighed, kan vi definere, at x er et naturligt tal (eller nul), hvis x er en mængde, der opfylder tre krav:

1. Tilhørerrelationen er total på x; for alle y og z gælder altså, at

   

2. Mængden x er transitiv, dvs., for alle y og z vil

   

3. Elementerne i mængden x er enten tomme eller ``har en forgænger''. Dette udtrykkes ved, at for alle y gælder, at

   

Hvis x er en mængde, der kun opfylder de to første betingelser, siger vi, at x er et ordinaltal [2]. Den sidste betingelse sikrer, at et naturligt tal er endeligt, og antyder, hvordan efterfølgerfunktionen skal se ud: .

Vi ser straks, at den tomme mængde opfylder de tre betingelser, og ligeledes gør mængden af den tomme mængde . Betingelserne giver endvidere, at ud over den tomme mængde kan kun mængder på formen komme på tale. En sådan mængde vil endvidere opfylde de tre krav, hvis mængden z gør det. Definerer vi 0 til og 1 til , får vi, at , og at er naturlige tal, idet vi betegner den sidste mængde med 2. På den måde bliver alle naturlige tal lig mængden af deres forgængere, eller:

Med denne konstruktion kan man bevise, at Peanos aksiomer er opfyldt. Det eneste ikke-trivielle er induktionsaksiomet (betingelse 3): Antag, at , og at . Lad nu y være det første element i (tilhørerrelationen definerer jo en velordning). Vi har, at , og hvis y=S(z), må (y var jo det første element, der ikke lå i x), og dermed vil ifølge antagelsen, hvilket giver en modstrid.

Peanos aksiomer er fra 1889, mens Zermelo-Fraenkels aksiomssystem er fra 1930, og de illustrerer en spændende historisk udvikling. Peanos aksiomer fokuserer på efterfølgerfunktioner og giver en karakterisering af de naturlige tal, mens man med Zermelo-Fraenkels aksiomssystem konstruerer de naturlige tal uden en egentlig efterfølgerfunktion og siden specificerer, hvordan en sådan skal se ud. Desuden indeholder Peanos induktionsaksiom en ``grim'' kvantisering over delmængder af de naturlige tal (i betingelse 3): For det første kan man tænke sig overtælleligt mange delmængder af . For det andet forudsætter betingelsen eksistensen af et objekt , mens man i Zermelo-Fraenkels aksiomssystem (hvis man fjerner uendelighedsaksiomet) godt kan tale om naturlige tal uden at have, at mængden af de naturlige tal eksisterer. Og for det tredje kan begrebet ``delmængde'' lede ens tanker hen på uskønheder som Russells paradoks [4]. Zermelo-Fraenkel konstruktionen er mere dybtgående (og smuk), idet den kun fokuserer på de to centrale begreber ``mængde'' og ``tilhører''.

Følgende lille bemærkning kan måske give stof til eftertanke: I 1886 sagde Leopold Kronecker [5]: ``Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk''. I dag kan man være fristet til at sige: ``Gud skabte `ingenting1', resten har mennesket skabt''.

Konstruktion af , , og

Når først de naturlige tal er konstrueret, er det ingen sag at gå videre til de hele, rationale, reelle og komplekse:

De hele tal.

Vi betragter en ækvivalensrelation R på givet ved

Mængden af hele tal defineres så som kvotientmængden .

Vi kan tænke på en ækvivalensklasse som de gitterpunkter i , der ligger på en linje med hældning 1. Vi identificerer tallet n med den ækvivalensklasse, der indeholder punktet (n,0), hvis n er positiv eller nul. Tallet -n identificeres med den ækvivalensklasse, der indeholder (0,n).

De rationale tal.

Her betragter vi kvotientmængden , hvor S er ækvivalensrelationen på givet ved

Her kan vi tænke på n og m som hhv. tæller og nævner i en brøk.

De reelle tal.

Vi definerer de reelle tal vha. et Dedekind-snit. En ikke-tom, ægte delmængde x af er et Dedekind-snit, hvis der for gælder, at for alle . De reelle tal er nu blot mængden af Dedekind-snit.

Hvis y ligger i et Dedekind-snit, vil alle rationale tal, der er mindre end y, altså også ligge der. Vi kan altså tænke på et Dedekind-snit som en venstre del af den rationale akse. Hvis et Dedekind-snit har et største element i , identificerer vi Dedekind-snittet med dette (rationale) tal. Har snittet ikke et største element i , identificerer vi det med et (nyt) irrationalt tal.

F.eks. er et Dedekind-snit, som vi identificerer med det irrationale tal .

Den nævnte konstruktion skyldes Dedekind (1872). Alternativt kan man definere som fuldstændiggørelsen af , hvilket (dog med andre ord) Heine har gjort (også 1872).

De komplekse tal.

Vi identificerer med .

Denne simple konstuktion blev først foreslået af Caspar Wessel i 1796, men det var Cauchy og Gauss, der udbredte idéen, som de havde fået fra Argand. Argand fik idéen uafhængigt af Wessel i 1806.

Med disse konstruktioner gælder de sædvanlige inklusioner ikke. Der er imidlertid ikke noget i vejen for, at man vha. passende isomorfier identificerer f.eks. med en delmængde af , så man kan forsvare inklusionstegnene.

Foregående: Tal Op: FAMØSmarts 1996 Næste: Litteratur