Henrik Chr. Grove
Alle har hørt om kaos og fraktaler, og de fleste af os ved hvad det handler
om og hvordan de mest almindelige fraktaler dannes, og ser ud. Denne artikel
er et uddrag af min 3. års opgave fra gymnasiet, og handler om én mulig
generalisering af Julia- & Mandelbrotmængder. Grundlaget for de almindelige
versioner er iterationsformlen 
, men i denne artikel
vil vi studere hvad der sker hvis man bruger den mere generelle formel
Mange steder ser man betegnelsen Mandelbrotmængde forbeholdt tilfældet n = 2, men i denne artikel vil jeg bruge den mere generelt.
Selv om mange af os sikkert godt ved, hvad en Julia-/Mandelbrotmængde er, tager vi for en sikkerheds skyld en kort introduktion.
Vi starter med at
betragte særtilfældet af formlen (1) n = 2, c = 0, altså formlen
. Af
formlen 
, ses det let at for 
konvergerer 
, og for 
, divergerer
mod 
når i går mod uendelig. For 
, bliver
ved med at ligge på enhedscirklen, som dermed udgår grænsen mellem de
områder hvor følgen 
divergerer mod uendelig, og de
områder, hvor den ikke gør. Det er denne grænse, mellem de delmængder af 
hvor følgen konvergerer (mod et eller andet), og den hvor en følge divergerer
mod uendelig der kaldes for en Juliamængde, for ,
eller for den sags skyld 
er Juliamængden altså
enhedscirklen.
Det er kun i meget sjældne tilfælde vi kan karakterisere Juliamængden så præcist, faktisk kan man for n=2, kun bestemme Juliamængden for c=0, og for c=-2, hvor det er intervallet [-2;2]. Når man ikke kan beskrive en Juliamængde, kan man heldigvis sætte en computer til at lave et billede.
Figur 1: Juliamængder (2) for n=2, den ene er pænt
sammenhængende, men den anden er en gang ``støv''
Som det kan ses af figur 1, ser Juliamængder meget forskellige ud, en af de vigtigste forskelle, er nok at nogle af dem hænger sammen, mens andre ligner ``støv''. Det spændende er, at det faktisk er meget ``let'', at afgøre om Juliamængden vil være sammenhængende eller ej. Til dette formål skal vi bruge følgende
Grunden til at dette er interessant, er at hvis der er en tiltrækkende
periodisk bane, vil den specielt tiltrække
den kritiske bane! [1, Som dog heller ikke har et bevis,]
Denne sætning vil jeg ikke forsøge at bevise.
Med grundlag i denne sætning kan vi nu definere
Det spændende er nu følgende sætning, som jeg igen ikke vil forsøge at bevise
Figur 2: Den ``almindelige'' Mandelbrotmængde (n=2)
Dette fænomen at vi ikke kan beskrive noget, gør det kun endnu mere spændende at prøve at finde ud af det. Heldigvis er det, som man kan se af denne artikel nogenlunde let at få en computer til at lave nogen gode billeder, men selv uden hjælp fra en computer, kan vi få lidt at vide om hvordan Julia-mængderne ser ud, der gælder nemlig følgende simple sætning:
Bevis. Dette kan bevises simpelthen ved at indse at to komplekse tal,
med samme numeriske værdi, og et argument der afviger med et helt multiplum
af 
, ved indsættelse i iterationsformlen giver nøjagtigt det
samme resultat.
Lad 
være 
, og 
være
, hvor 
QED.
Et par billeder der illustrerer dette kan findes i figur 3, 4 og 5, hvis du ikke har noget bedre at lave kan du jo prøve at tælle efter at der virkelig er 20 små kopier af den lille ``figur''!
Figur 3: Juliamængde for n = 4 og c= 0,6 - 0,12i
Figur 4: Juliamængde for n = 12 og c= -0,65 + 0,582i
Figur 5: Juliamængde for n = 20 og c= 0,134 + 0,877i
Det er ikke kun Juliamængder der har symmetriegenskaber, Mandelbrotmængder opfylder følgende
Bevis.
Denne sætning er ikke vanskeligere end den anden, igen er pointen bare at
tage to komplekse tal, der ligger symmetrisk om en af spejlingsakserne, og
vise at deres efterfølgere ligger symmetrisk om den samme spejlingsakse.
Lad 
, og
, for et valgt p, da
bliver 
og
, derfor skal det bare vises at 
og
er hinandens spejlbilleder i symmetriaksen.
Det er let at se at de første led, er hinandens spejlbilleder som ønsket,
spørgsmålet er altså bare om c'erne ødelægger noget, men eftersom c og
er hinandens spejlbilleder i symmetriaksen, er dette
ækvivalent med spørgsmålet om hvorvidt v + w og
er hinandens spejlbilleder i den reelle akse,
eller med andre ord hinandens konjugerede, og det er jo en særdeles velkendt
sætning. QED.
For en illustration se figur 6
Figur 6: Mandelbrotmængden for n = 5
