previous up next
Foregående: Nyt fra fagrådet Op: FAMØS december 1996 Næste: Litteratur

Generaliserede Julia- & Mandelbrotmængder

Henrik Chr. Grove


Alle har hørt om kaos og fraktaler, og de fleste af os ved hvad det handler om og hvordan de mest almindelige fraktaler dannes, og ser ud. Denne artikel er et uddrag af min 3. års opgave fra gymnasiet, og handler om én mulig generalisering af Julia- & Mandelbrotmængder. Grundlaget for de almindelige versioner er iterationsformlen tex2html_wrap_inline1556 , men i denne artikel vil vi studere hvad der sker hvis man bruger den mere generelle formel

  equation496

Mange steder ser man betegnelsen Mandelbrotmængde forbeholdt tilfældet n = 2, men i denne artikel vil jeg bruge den mere generelt.

Hvad er Julia- & Mandelbrotmængder?

Selv om mange af os sikkert godt ved, hvad en Julia-/Mandelbrotmængde er, tager vi for en sikkerheds skyld en kort introduktion.

Juliamængder

Vi starter med at betragte særtilfældet af formlen (1) n = 2, c = 0, altså formlen tex2html_wrap_inline1576 . Af formlen tex2html_wrap_inline1578 , ses det let at for tex2html_wrap_inline1580 konvergerer tex2html_wrap_inline1582 , og for tex2html_wrap_inline1584 , divergerer tex2html_wrap_inline1586 mod tex2html_wrap_inline1588 når i går mod uendelig. For tex2html_wrap_inline1590 , bliver tex2html_wrap_inline1586 ved med at ligge på enhedscirklen, som dermed udgår grænsen mellem de områder hvor følgen tex2html_wrap_inline1594 divergerer mod uendelig, og de områder, hvor den ikke gør. Det er denne grænse, mellem de delmængder af tex2html_wrap_inline1596 hvor følgen konvergerer (mod et eller andet), og den hvor en følge divergerer mod uendelig der kaldes for en Juliamængde, for tex2html_wrap_inline1576 , eller for den sags skyld tex2html_wrap_inline1600 er Juliamængden altså enhedscirklen.gif

Det er kun i meget sjældne tilfælde vi kan karakterisere Juliamængden så præcist, faktisk kan man for n=2, kun bestemme Juliamængden for c=0, og for c=-2, hvor det er intervallet [-2;2]. Når man ikke kan beskrive en Juliamængde, kan man heldigvis sætte en computer til at lave et billede.


  
Figur 1: Juliamængder (2) for n=2, den ene er pænt sammenhængende, men den anden er en gang ``støv''

Mandelbrotmængder

Som det kan ses af figur 1, ser Juliamængder meget forskellige ud, en af de vigtigste forskelle, er nok at nogle af dem hænger sammen, mens andre ligner ``støv''. Det spændende er, at det faktisk er meget ``let'', at afgøre om Juliamængden vil være sammenhængende eller ej. Til dette formål skal vi bruge følgende

theorem531

Grunden til at dette er interessant, er at hvis der er en tiltrækkende periodisk banegif, vil den specielt tiltrække den kritiske bane! [1, Som dog heller ikke har et bevis,] Denne sætning vil jeg ikke forsøge at bevisegif.

Med grundlag i denne sætning kan vi nu definere

theorem538

Det spændende er nu følgende sætning, som jeg igen ikke vil forsøge at bevise

theorem543


  
Figur 2: Den ``almindelige'' Mandelbrotmængde (n=2)

Symmetriegenskaber

Dette fænomen at vi ikke kan beskrive noget, gør det kun endnu mere spændende at prøve at finde ud af det. Heldigvis er det, som man kan se af denne artikel nogenlunde let at få en computer til at lave nogen gode billeder, men selv uden hjælp fra en computer, kan vi få lidt at vide om hvordan Julia-mængderne ser ud, der gælder nemlig følgende simple sætning:

theorem554

Bevis. Dette kan bevises simpelthen ved at indse at to komplekse tal, med samme numeriske værdi, og et argument der afviger med et helt multiplum af tex2html_wrap_inline1624 , ved indsættelse i iterationsformlen giver nøjagtigt det samme resultat. Lad tex2html_wrap_inline1626 være tex2html_wrap_inline1628 , og tex2html_wrap_inline1630 være tex2html_wrap_inline1632 , hvor tex2html_wrap_inline1634

gather569

QED.

Et par billeder der illustrerer dette kan findes i figur 3, 4 og 5, hvis du ikke har noget bedre at lave kan du jo prøve at tælle efter at der virkelig er 20 små kopier af den lille ``figur''!


  
Figur 3: Juliamængde for n = 4 og c= 0,6 - 0,12i


  
Figur 4: Juliamængde for n = 12 og c= -0,65 + 0,582i


  
Figur 5: Juliamængde for n = 20 og c= 0,134 + 0,877i

Det er ikke kun Juliamængder der har symmetriegenskaber, Mandelbrotmængder opfylder følgende

theorem600

Bevis. Denne sætning er ikke vanskeligere end den anden, igen er pointen bare at tage to komplekse tal, der ligger symmetrisk om en af spejlingsakserne, og vise at deres efterfølgere ligger symmetrisk om den samme spejlingsakse. Lad tex2html_wrap_inline1666 , og tex2html_wrap_inline1668 , for et valgt p, da tex2html_wrap_inline1672 bliver tex2html_wrap_inline1674 og tex2html_wrap_inline1676 , derfor skal det bare vises at tex2html_wrap_inline1678 og tex2html_wrap_inline1680 er hinandens spejlbilleder i symmetriaksen.

eqnarray616

Det er let at se at de første led, er hinandens spejlbilleder som ønsket, spørgsmålet er altså bare om c'erne ødelægger noget, men eftersom c og tex2html_wrap_inline1686 er hinandens spejlbilleder i symmetriaksen, er dette ækvivalent med spørgsmålet om hvorvidt v + w og tex2html_wrap_inline1690 er hinandens spejlbilleder i den reelle akse, eller med andre ord hinandens konjugerede, og det er jo en særdeles velkendt sætning. QED.

For en illustration se figur 6


  
Figur 6: Mandelbrotmængden for n = 5


previous up next
Foregående: Nyt fra fagrådet Op: FAMØS december 1996 Næste: Litteratur

famos@math.ku.dk
Fri Dec 6 21:45:09 MET 1996