Next: Bachelorprojekt---en øjenvidneberetning! Up: No Title Previous: EnToTre---førstedelsseminar

Sætningen om den implicit givne funktion

af Bo Markussen

Denne sætning var engang med i pensum i en af fortidens udgaver af 2MA, nedenforstående udgave er således hentet fra Børge Jessens noter fra 1964--65. Indholdsmæssig og bevisteknisk hører sætningen egentlig hjemme på 1MA, men man er jo nødt til at vælge, og man har altså valgt denne udmærkede sætning fra. I dag findes den implicitte funktions sætningen på Mat 3GE (differential geometri) og 3NA (numerisk analyse), den bruges på Stat 2A (vidergående teoretisk statistik), og i forbindelse med kurset Selected topics from the theory of complex functions fandt forelæseren Mikhail Sodin det besynderligt, at deltagerne ikke kendte denne elementære sætning.

Sætningen udtaler sig om det tilfælde hvor en funktion er givet implicit ved ligningen . Hvis ligningen har kontinuerte partielle afledede af orden n, og vi kender én ``passende'' løsning , så giver den implicitte funktionssætning, at har kontinuert partielle afledede af orden n samt en ``formel'' for værdien af disse i punktet . Dette kan bl.a. være nyttigt, hvis vi ikke kan finde løsningsfunktionen eksplicit. Vi skal da bare finde en enkelt løsning, hvorefter vi kan approksimere løsningsfunktionen med en endelig Taylorrække. Det er derfor med fornøjelse, at vi præsenterer...

Den Implicitte funktionssætning. Lad A være en åben mængde i , og lad være kontinuerte funktioner i A med kontinuerte partielle afledede efter . Vi sætter , og betragter løsningsmængden for ligningen . Lad være en løsning for hvilken matricen

er invertibel, dvs. . Og lad være en åben omegn af , hvori [En sådan må findes, da er kontinuert]. Da eksisterer omegne og af og samt kontinuerte funktioner i , således at afbilder ind i , og således at . Forudsættes yderligere, at funktionerne i A har kontinuerte partielle afledede også efter , så vil i have kontinuert partielle afledede efter . Har funktionerne kontinuert partielle afledede af orden efter , vil have kontinuert partielle afledede af orden efter . De afledede af efter bestemmes i givet fald ved implicit differention. Dvs. man differentierer ligningerne

og løser de fremkomne ligninger.

Beviset er temmeligt besværligt, men uden overraskelser. Det er et af den slags beviser, som man egentlig godt kan undvære at se, og som sjældent bliver gennemgået (en tilsvarende skæbne har beviset for den hyppigt anvendte og citerede transformationssætning fra integralregningen fået). Også jeg vil derfor nøjes med henvisninger: Beviset kan findes i W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, i Børge Jessens gamle 2MA-noter i A.F. Andersen & H. Bohr, Matematisk Analyse (Bog III). Hvis læseren selv skulle få lyst til prøve, så kan det anbefales at betragte tilfældet p=1.

I stedet for vil vi prøve at anvende den implicitte funktionssætning: Betragt tilfældet, hvor er givet implicit som funktion af og ved ligningen (vi har altså k=2, p=1). Det ses, at ligningen tilfredsstilles af punktet . Idet f har kontinuerte partielle afledede af vilkårelig høj orden, og i punktet , bestemmer ligningen, idet vi indskrænker os til et at betragte et lille akseparallelt parallelepipedum omkring dette punkt, som en vilkårelig ofte differentiabel funktion g af og .