Russells paradoks

Den naive mængdelæres grundlægger, George Cantor, definerede en mængde således:

Unter einer `Menge' verstehen wir jede Zusammanfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens (welche die `Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen.

Intuitivt set virker det godt nok -- men det er det bare ikke. Det viste Russell med sit berømte paradoks. Da de fleste læsere velsagtens kender det til hudløshed, har jeg medtaget det i en knap så kendt version, nemlig Ota Solgryn formuleringen, bedst kendt fra 1994-udgaven af Mat X. En Ota Solgryn mængde er en mængde x, som indeholder sig selv som element: . Sprogbrugen kommer fra billedet på den gamle Ota Solgryn-pakke, hvor man ser en dreng komme løbende med en Ota Solgryn-pakke, på hvilken man ser en dreng komme løbende med en Ota Solgryn-pakke, på hvilken man ser en dreng komme løbende med en Ota Solgryn-pakke, på hvilken man ser en dreng komme løbende med en Ota Solgryn-pakke ...

Betragt nu mængden, , af alle ikke-Ota-Solgryn-mængder. Altså er ikke en Ota Solgryn-mængde,

med andre ord

Specielt kan man betragte mængden . Der gælder så

Dette er Russells paradoks.

I ZFC, som i dag er den mest anvendte aksiomatisering af mængdelæren, forhindres eksistensen af Ota Solgryn mængder af regularitetsaksiomet:

Russell forsøgte selv at løse problemet med typeteorien, der løst sagt går ud på at inddele de forskellige mængder efter type. Den laveste type har kun objekter som elementer -- og ikke mængder. Den næste type indeholder kun objekter og mængder af elementer af den laveste type. Generelt kan en mængde af en given type kun indeholde objekter eller mængder af en strengt lavere type.

Hvis en samling af ting ikke overholder disse krav, er det ikke en mængde. Specielt er Ota Solgryn ``mængden'' ikke en mængde. På denne måde undgåes Russells paradoks.

I dagligsproget findes analoger til paradokset. Tænk for eksempel på et bibliotek med to kataloger. Det ene er en fortegnelse over alle de bøger, som refererer til sig selv, det andet er en fortegnelse over alle de bøger, som ikke nævner sig selv. I hvilket katalog er det andet katalog nævnt?

Kurt Grelling opfandt i 1908 det heterologiske paradoks. Han definerede `heterologisk' til at betyde ord, som ikke beskriver sig selv. `Ord', `kort', `flerstavelsesord' og `recherché' er alle ikke-heterologiske, mens `lang', `morgengryfarvet' og `enstavelsesord' er. Spørgsmålet er, om `heterologisk' er heterologisk?

Russells typeteori fjerner problemerne omkring Russells paradoks, men ikke omkring disse dagligsprogs-analoger. Det ligger lige for at forsøge det samme trick med dagligsproget; altså at indføre hierarkier og forbyde løkker indenfor hierarkierne. I bunden af dette hierarki er objekt-sproget. Ord herfra må kun referere til ting og ikke aspekter i objektsproget selv. Det næste lag af hierarkiet, metasproget, indeholder objektsproget og alle referencer til objektsproget som kun indeholder ord fra objektsproget. Referencer til aspekter i metasproget findes så i det næste lag, meta-metasproget.

Ord som `sand' tilhører metasproget, ligeledes gør sætninger af typen ``Denne sætningen er <vilkårligt objektsprogs-ord>''. Men sætninger som ``Denne sætningen er usand,'' er altså ikke tilladt. Ligeledes er spørgsmålet ``Er `heterologisk' heterologisk?'' ikke tilladt.

På denne måde får man has på Grellings paradoks og alle paradokser af Epimenides typen. Til gengæld virker hierarkidelingen kluntet og u-intuitiv i andre dagligsdags situationer.

Hofstadter skriver [5]:

``In this book, I criticize the theory of types'' would be doubly forbidden. ... Firstly, it mentions `this book', which should only be mentionable in a `metabook' -- and secondly, it mentions me -- a person whom I should not be allowed to speak of at all!

... the very act of discussing the theory would be the most blatant possible violation of it!

Det var altså ikke nogen god idé at bruge Russells typeteori som model for en hierarkistruktur i sproget.